上皿天秤と三進数
§０ はじめに．
私が小学校の五年生か六年生の頃でした．（今からウン？十年前．）
実験で上皿天秤を使うことになったのですが，付属の分銅が４っつしかありませんでした．
使い方が良くわからなくて一円玉を使って，試料の粉薬を測ったことを覚えています．一円玉の重さはこの
頃から今日に至るまで（実用的精度の範囲内で）ちょうど一グラムだからです．
今になって考えますと，このときの分銅の組み合わせは「４個組み」と呼ばれるもので 1ｇ，3ｇ，9ｇ，
27ｇで成り立っていたはずです．これらはまた，1 = 30, 3 = 31, 9 = 32, 27 = 33のように全てが
3 のべき（冪）で表せます．そして，この４個だけで 1ｇから40ｇまでを 1ｇ刻みで測れるのです．
本章ではこのことを説明してみたいと思います．
§１ 原始３進化１０進数．
(1) 任意の１０進数をq0とする．
(2) q0 を 3 で割った商をq1，剰余を r0 とする．r0 は {0, 1, 2} のいずれかとなる．
そうすると，
q0 = q1*3 + r0 (1)
となる．
(3) q1 が 3 以上であれば，(2)と同様の操作を繰り返し商qと剰余rの添え字をそれぞれ 1 づつ進める．
例えば，q1 >= 3 であれば，
q1 = q2*3 + r1 (2)
となり，さらに，
q0 = q2*32 + r1*3 + r0 (3)
(4) 商qの最後の添え字の自然数を n-1 とする．
このとき最後の商は qn-1 と書かれ，qn-1 は {1, 2} のいずれかとなる．
そうすると，
q0 = qn-1*3n-1 + rn-2*3n-2 + rn-3*3n-3 + … + r2*32 + r1*3 + r0 (4)
と表される．
(5) このとき，
q0 = ( qn-1, rn-2, rn-3, … , r2, r1, r0)3
と書いて，ここではこれを n 桁の原始３進化１０進数と呼んでおくことにする．
(6) 例題．
（問１）35 を原始３進化１０進数で表せ．
（答）筆算で求めるには次のようにすれば良い．
与えられた１０進数 q0 → 35 ( 2 → 35 を 3 で割った剰余 r0
-----
35 を 3 で割った商 q1 → 11 ( 2 → 11 を 3 で割った剰余 r1
-----
11 を 3 で割った商 q2 → 3 ( 0 → 3 を 3 で割った剰余 r2
-----
3 を 3 で割った商 q3 → 1
ここから，
35 = ( q3, r2, r1, r0 )3 = ( 1, 0, 2, 2 )3
となる．実際，
( q3, r2, r1, r0 )3 = ( 1, 0, 2, 2 )3 = 1*33 + 0*32 + 2*3 + 2 = 27 + 0 + 6 + 2 = 35 となり，
正しく計算されていることが分る．
（問２） 原始３進化１０進数 ( 1, 2, 0, 1 )3 を１０進数になおせ．
（答） ( 1, 2, 0, 1 )3 = 1*33 + 2*32 + 0*3 + 1 = 27 + 18 + 0 + 1 = 46
実際，
与えられた１０進数 q0 → 46 ( 1 → 46 を 3 で割った剰余 r0
-----
46 を 3 で割った商 q1 → 15 ( 0 → 15 を 3 で割った剰余 r1
-----
15 を 3 で割った商 q2 → 5 ( 2 → 5 を 3 で割った剰余 r2
-----
5 を 3 で割った商 q3 → 1
ここから逆に，
46 = ( q3, r2, r1, r0 )3 = ( 1, 2, 0, 1 )3
で良いことが示される．
§２ 標準３進化１０進数．
一般に，
2*3n = (3-1)*3n = 1*3n+1 + (-1)*3n (5)
で表すこともできる．それでこの事実を原理として，
(1) 原始３進化１０進数の表現で下位から順に調べて 2 が立てられている最小の位が n 桁目であるとする．
(2) n桁目を -1 とし n+1桁目に 1 を加える．
(3-1) n+1桁目の加算結果が 3 となれば，n+1桁目は 0 とし，n+2桁目に 1 を加える．
(3-2) n+1桁目の加算結果が 2 となれば，(1)からと同様な処理を行なう．
(4) この処理をすべての桁で 2 が使われなくなるまで下位から順に繰り返す．
(5) このとき得られた表現が m 桁であれば，
Q0 = [ Qm-1, Rm-2, Rm-3, … , R2, R1, R0 ]3
で表して，ここではこれを m 桁の標準３進化１０進数と呼んでおくことにする．
ここで，Qm-1, Rm-2, Rm-3, … , R2, R1, R0 は {-1, 0, 1} のいずれかの値を取る．
(6) 例題．
（問３）35 を標準３進化１０進数で表せ．
これを筆算でやれば
与えられた１０進数Q0 → 35 ( 2 → 35 を 3 で割った原始剰余, 標準剰余R0 = -1
-----
35 を 3 で割った原始商 11
標準商Q1 → 11+1 = 12 ( 0 → 12 を 3 で割った標準剰余R1
-----
12 を 3 で割った標準商Q2 → 4 ( 1 → 4 を 3 で割った標準剰余R2
-----
4 を 3 で割った標準商Q3 → 1
∴ 35 = [ Q3, R2, R1, R0 ]3 = [ 1, 1, 0, -1 ]3
実際，逆に，
[ 1, 1, 0, -1 ]3 = 1*33 + 1*32 + 0*3 + (-1) = 27 + 9 + 0 - 1 = 35
となっていて正しいことが確かめられる．
（問４）46 を標準３進化１０進数で表せ．
与えられた１０進数Q0 → 46 ( 1 → 46 を 3 で割った標準剰余R0
-----
46 を 3 で割った標準商Q1 → 15 ( 0 → 15 を 3 で割った標準剰余R1
-----
15 を 3 で割った標準商Q2 → 5 ( 2 → 5 を 3 で割った原始剰余，標準剰余R2 = -1
-----
5 を 3 で割った原始商 → 1
下位の標準化による加算 → 1+1 = 2 (-1 → 最高位の標準化によって生じた標準剰余R3
-----
最高位の標準化によって生じた標準商Q4 → 1
∴ 46 = [ Q4, R3, R2, R1, R0 ]3 = [ 1, -1, -1, 0, 1 ]3
実際，逆に，
[ 1, -1, -1, 0, 1 ]3 = 1*34 + (-1)*33 + (-1)*32 + 0*3 + 1 = 81 - 27 - 9 + 0 + 1 = 46
となって正しいことが確かめられる．
（問５）[ 1, 0, -1, -1 ]3 を１０進数で表せ．
[ 1, 0, -1, -1 ]3 = 1*33 + 0*32 + (-1)*3 + (-1) = 27 + 0 - 3 - 1 = 23
実際，逆に，
与えられた１０進数Q0 → 23 ( 2 → 23 を 3 で割った原始剰余，標準剰余R0 = -1
-----
23 を 3 で割った原始商 → 7 ------
標準商Q1 → 7 + 1 = 8 ( 2 → 8 を 3 で割った原始剰余，標準剰余R1 = -1
-----
8 を 3 で割った原始商 → 2
標準商Q2 → 2 + 1 = 3 ( 0 → 3 を 3 で割った標準剰余R2
-----
3 を 3 で割った標準商Q3 → 1
ゆえに，
23 = [ Q3, R2, R1, R0 ]3 = [ 1, 0, -1, -1 ]3
となって，正いことが確かめられる．
（問６）( 2, 1, 0, 2 )3 を標準３進化１０進数で表せ．
（答） ( 2, 1, 0, 2 )3 = ( 2, 1, 1, -1 )3 = ( 1, -1, 1, 1, -1 )3
= [ 1, -1, 1, 1, -1 ]3
実際，
( 2, 1, 0, 2 )3 = 2*33 + 1*32 + 0*3 + 2 = 54 + 9 + 0 + 2 = 65
[ 1, -1, 1, 1, -1 ]3 = 1*34 + (-1)*33 + 1*32 + 1*3 + (-1) = 81 - 27 + 9 + 3 - 1 = 65
∴ ( 2, 1, 0, 2 )3 = [ 1, -1, 1, 1, -1 ]3 = 65
となって正しいことが確かめられる．
（問７）[ 1, -1, 0 ,-1, 1 ]3 を 原始３進化１０進数で表せ．
(答）この計算は上位の桁から下位の桁へと行なう．-1 を持つ桁は 2 とし，直上位桁からは 1 を引く．
同様の処理を下位の桁に移動しながら -1 を持つ桁が全て無くなるまで繰り返せば良い．
[ 1, -1, 0 ,-1, 1 ]3 = [ 0, 2, 0, -1, 1 ]3 = [ 0, 1, 2, 2, 1 ]3
= ( 1, 2, 2, 1 )3
実際，
[ 1, -1, 0, -1, 1 ]3 = 1*34 + (-1)*33 + 0*32 + (-1)*3 + 1 = 81 - 27 + 0 - 3 + 1 = 52
( 1, 2, 2, 1 )3 = 1*33 + 2*32 + 2*3 + 1 = 27 + 18 + 6 + 1 = 52
∴ [ 1, -1, 0 ,-1, 1 ]3 = ( 1, 2, 2, 1 )3 = 52
となって正しいことが確かめられる．
§３ 標準３進化１０進数の性質についての数学的証明．
[定理１]
n 桁以内の標準３進数化１０進数によって表示できる正の数の総数を Max(n) という記号で表せば，
Max(n) = ( 3n - 1 )/2
である．
[証明]
勝手な 0 でない n 桁以内の標準３進数化１０進数を P として，
P = [ Tn-1, Tn-2, Tn-3, …, T2, T1, T0 ]3
と表せば，Tn-1,…，T0は {-1,0,1} で表され, 少なくとも１つは 0 でない．
ここで P' として，
P' = [ -Tn-1, -Tn-2, -Tn-3, …, -T2, -T1, -T0 ]3
を考えると P' も n 桁以内の標準３進化１０進数であり，
P + P' = [ Tn-1-Tn-1, Tn-2-Tn-2, Tn-3-Tn-3, …, T2-T2, T1-T1, T0-T0 ]3
= [ 0, 0, 0, …, 0, 0, 0 ]3 = 0
となるから，
P' = - P
である．
(1) このことから，n 桁以内の標準３進数化１０進数は正の数と負の数の表示を同個数づつ持つ．
一方，
(2) n 桁の標準３進化１０進数は各桁が {-1,0,1} の３通りで表せるので合計で，3n 通りの表示を持つ．
(3) 全ての桁が 0 である場合も組み合わせの一組と考えられる．
よって (1), (2), (3) から n 桁以内の標準３進数化１０進数によって表示できる正の数の総数 Max(n) は
Max(n) = ( 3n - 1 )/2
である．
証明終り．
[定理２]
Max(n+1) = Max(n)*3 + 1
[証明]
Max(n)*3 + 1 = ( 3n - 1 )/2 *3 + 1 = ( 3n+1 - 3 + 2 )/2 = ( 3n+1 - 1 )/2
= Max(n+1)
証明終り．
この応用として例えば, Max(3)=(33-1)/2=(27-1)/2=13なので,
Max(4)=13*3+1=40, Max(5)=40*3+1=121, Max(6)=121*3+1=364, Max(7)=364*3+1=1093 … となる．
[定理３]
n 桁以内の正の標準３進化１０進数は 1 から Max(n)までの自然数とちょうど 1 対 1 に対応する．
[証明]
(1) n = 1 の場合．
1 桁の正の標準３進化１０進数は，
[ 1 ]3
ただ一つで，しかも，
Max(1) = (3-1)/2 = 1
ゆえに定理は n = 1 で真である．
(2) n = k の場合に定理がすでに真であると仮定する．
すなわち，
1 から Max(k) までの自然数は k 桁以内の正の標準３進化１０進数と 1 対 1 に対応している，
と仮定する．
(3) ここで n = k+1 となったとする，
新たに加わった数は k+1 桁目の正の数で，3k である．
すると k+1 桁以内の正の標準３進化１０進数によって次の連続した自然数が表示される．
1 = 1
2 = 2
3 = 3
・ ・
・ ・
・ ・
Max(k) - 2 = Max(k)-2
Max(k) - 1 = Max(k)-1
Max = Max(k)
Max(k) + 1 = (3k-1)/2 + 1 = 3k - (3k-1)/2 = 3k - Max(k)
Max(k) + 2 = 3k - Max(k) + 1
Max(k) + 3 = 3k - Max(k) + 2
・ ・
・ ・
・ ・
Max(k) + Max(k) - 2 = (3k-1)/2 + (3k-1)/2 - 2 = 3k - 3
Max(k) + Max(k) - 1 = (3k-1)/2 + (3k-1)/2 - 1 = 3k - 2
Max(k) + Max(k) = (3k-1)/2 + (3k-1)/2 = 3k - 1
Max(k) + Max(k) + 1 = (3k-1)/2 + (3k-1)/2 + 1 = 3k
Max(k) + Max(k) + 1 + 1 = 3k + 1
Max(k) + Max(k) + 1 + 2 = 3k + 2
Max(k) + Max(k) + 1 + 3 = 3k + 3
・ ・
・ ・
・ ・
Max(k) + Max(k) + 1 + Max(x) - 2 = Max(k)*3 - 1 = 3k + Max(k) - 2 = Max(k+1) - 2
Max(k) + Max(k) + 1 + Max(x) - 1 = Max(k)*3 = 3k + Max(k) - 1 = Max(k+1) - 1
Max(k) + Max(k) + 1 + Max(x) = Max(k)*3 + 1 = 3k + Max(k) = Max(k+1)
この表示を "k+1 の場合の表示"と呼ぼう．
さらに定理１から,
Max(k+1) = (3k+1 - 1)/2
となるから，k+1 桁以内の正の標準３進化１０進数は丁度"k+1 の場合の表示"で示されただけある．
ゆえに n = k で真ならば，n = k + 1 でも真となる．
よって (1), (2), (3)から帰納法により，定理は全ての自然数 n について真である．
証明終り．
この証明の特に(3)が分り難いという読者のために少し補足しておく．
Max(k)=(3k-1)/2, Max(k+1)=(3k+1-1)/2 として，
[1] 1 から Max(k) までの 1 刻みの増加は k+1桁以内の正の標準３進化１０進数である．( Max(k) 通り ）
[2] {3k-Max(k)} から 3k までの 1 刻みの増加は k+1桁以内の正の標準３進化１０進数である．( Max(k)+1 通り ）
[3] (3k+1) から {3k+Max(k)} までの 1 刻みの増加は k+1桁以内の正の標準３進化１０進数である．( Max(k) 通り ）
このうち[1]の最後の数は
Max(k) = (3k-1)/2
[2]の始めの数は
3k-Max(k)=3k-(3k-1)/2 = (3k+1)/2 = (3k-1)/2 + 1 = Max(k) + 1
ゆえに[1]と[2]は自然数上で連続である．
また[2]と[3]が自然数上で連続であることはほぼ自明．
[3]の最後の数は，
3k + Max(k) = 3k + (3k-1)/2 = (3k+1-1)/2 = Max(k+1) ( = Max(k)*3 + 1 通り )
よって，[1],[2],[3]は 1 から Max(k+1) までの連続した自然数を表し，しかも定理１から k+1桁以内の全
ての正の標準３進化１０進数とちょうど 1 対 1 に対応している．
証明が分かり難いかも知れないが，正の標準３進化１０進数の表示の構造そのものを反映していると考えて
あえてこの方法を採用した．
[定理４]
丁度 n 桁の正の標準３進化１０進数の表示の最上位は丁度 3n-1 回連続して 1 となる．
[証明]
n 桁以内の正の標準３進化１０進数の表示のうち， 3n-1 の桁が 1 であるのは Max(n) - Max(n-1)組だけ
存在する．( 定理３の証明参照）これを計算すると，
Max(n) - Max(n-1) = (3n-1)/2 - (3n-1-1)/2 = (3n-3n-1)/2 = (3-1)3n-1/2 = 3n-1
証明終り．
§４ 標準３進化１０進数の応用と上皿天秤による１ｇ刻みの重量測定．
さて前章までのことを踏まえて，上皿天秤のお話に移ろう．
今，上皿天秤に付属の分銅が n 個組みであるとは，分銅がそれぞれ 1ｇ, 3ｇ, 32ｇ, …, 3n-1ｇで与えられ
ている場合であるとする．しかるに，上皿天秤の右の皿に分銅を乗せる場合を + と考え，左の皿に乗せる場合
を - と考えれば，これら n 個の分銅は n 桁の標準３進化１０進数を表すと考えられ，定理１からこれらは,
1ｇから Max(n)=(3n-1)/2ｇまでを 1ｇ 刻みで測らせると考えられる．
（問８）４個組みの上皿天秤で 33ｇ を測れ．
33 ( 0
-----
11 ( 2 → -1
-----
3 → 4 ( 1
----
1
∴ 33 = [ 1, 1, -1, 0 ]3 ( 33 = 27 + 9 - 3 )
これから右の皿には 27ｇと 9ｇを左の皿には 3ｇを乗せ，試料を左の皿に乗せて天秤を平行させれば良い．
最後に４個組みの場合の 1ｇから 40ｇまでの分銅の乗せ方を表にして本章を終わる．
１０進数 原始３進化１０進数 標準３進化１０進数 左の皿 右の皿.
1 ( 0, 0, 0, 1 )3 [ 0, 0, 0, 1 ]3 0 1
2 ( 0, 0, 0, 2 )3 [ 0, 0, 1, -1 ]3 1 3
3 ( 0, 0, 1, 0 )3 [ 0, 0, 1, 0 ]3 0 3
4 ( 0, 0, 1, 1 )3 [ 0, 0, 1, 1 ]3 0 3+1
5 ( 0, 0, 1, 2 )3 [ 0, 1, -1, -1 ]3 3+1 9
6 ( 0, 0, 2, 0 )3 [ 0, 1, -1, 0 ]3 3 9
7 ( 0, 0, 2, 1 )3 [ 0, 1, -1, 1 ]3 3 9 +1
8 ( 0, 0, 2, 2 )3 [ 0, 1, 0, -1 ]3 1 9
9 ( 0, 1, 0, 0 )3 [ 0, 1, 0, 0 ]3 0 9
10 ( 0, 1, 0, 1 )3 [ 0, 1, 0, 1 ]3 0 9 +1
11 ( 0, 1, 0, 2 )3 [ 0, 1, 1, -1 ]3 1 9+3
12 ( 0, 1, 1, 0 )3 [ 0, 1, 1, 0 ]3 0 9+3
13 ( 0, 1, 1, 1 )3 [ 0, 1, 1, 1 ]3 0 9+3+1
14 ( 0, 1, 1, 2 )3 [ 1, -1, -1, -1 ]3 9+3+1 27
15 ( 0, 1, 2, 0 )3 [ 1, -1, -1, 0 ]3 9+3 27
16 ( 0, 1, 2, 1 )3 [ 1, -1, -1, 1 ]3 9+3 27 +1
17 ( 0, 1, 2, 2 )3 [ 1, -1, 0, -1 ]3 9 +1 27
18 ( 0, 2, 0, 0 )3 [ 1, -1, 0, 0 ]3 9 27
19 ( 0, 2, 0, 1 )3 [ 1, -1, 0, 1 ]3 9 27 +1
20 ( 0, 2, 0, 2 )3 [ 1, -1, 1, -1 ]3 9 +1 27 +3
21 ( 0, 2, 1, 0 )3 [ 1, -1, 1, 0 ]3 9 27 +3
22 ( 0, 2, 1, 1 )3 [ 1, -1, 1, 1 ]3 9 27 +3+1
23 ( 0, 2, 1, 2 )3 [ 1, 0, -1, -1 ]3 3+1 27
24 ( 0, 2, 2, 0 )3 [ 1, 0, -1, 0 ]3 3 27
25 ( 0, 2, 2, 1 )3 [ 1, 0, -1, 1 ]3 3 27 +1
26 ( 0, 2, 2, 2 )3 [ 1, 0, 0, -1 ]3 1 27
27 ( 1, 0, 0, 0 )3 [ 1, 0, 0, 0 ]3 0 27
28 ( 1, 0, 0, 1 )3 [ 1, 0, 0, 1 ]3 0 27 +1
29 ( 1, 0, 0, 2 )3 [ 1, 0, 1, -1 ]3 1 27 +3
30 ( 1, 0, 1, 0 )3 [ 1, 0, 1, 0 ]3 0 27 +3
31 ( 1, 0, 1, 1 )3 [ 1, 0, 1, 1 ]3 0 27 +3+1
32 ( 1, 0, 1, 2 )3 [ 1, 1, -1, -1 ]3 3+1 27+9
33 ( 1, 0, 2, 0 )3 [ 1, 1, -1, 0 ]3 3 27+9
34 ( 1, 0, 2, 1 )3 [ 1, 1, -1, 1 ]3 3 27+9 +1
35 ( 1, 0, 2, 2 )3 [ 1, 1, 0, -1 ]3 1 27+9
36 ( 1, 1, 0, 0 )3 [ 1, 1, 0, 0 ]3 0 27+9
37 ( 1, 1, 0, 1 )3 [ 1, 1, 0, 1 ]3 0 27+9 +1
38 ( 1, 1, 0, 2 )3 [ 1, 1, 1, -1 ]3 1 27+9+3
39 ( 1, 1, 1, 0 )3 [ 1, 1, 1, 0 ]3 0 27+9+3
40 ( 1, 1, 1, 1 )3 [ 1, 1, 1, 1 ]3 0 27+9+3+1
