discriminate2

判別式が２の二次拡大整数環の基本性質
  
§§０．はじめに．

  
　本稿で共通に用いる記号の内でよく使われるものを挙げておくことにする．

  ・整数の集合を {Z} と書く．

　・正の整数の集合を {Z⁺} と書く．

　・２つの整数 a, b の最大公約数が c のとき, 

　　( a, b ) = c

であらわす．

  特に c = 1 のとき，a, b は互いに素であるという．

　・整数 a が整数 b を割り切るとき,

    a|b

であらわす．
    
　さて，

　f,g を {Z} の要素として，

　f + g√2

なる無理数の集合を考える．これを判別式が２の二次拡大整数環と呼ぶ．

　・判別式が２の二次拡大整数環を {Z(√2)} と書く．

  ・{Z(√2)} の任意の要素 f + g√2 を整数と呼ぶ．従来の整数は有理整数と呼ぶ．

　・f を実部，g を虚部と呼ぶ．

  {Z(√2)} は加法と乗法に関し結合法則,交換法則,分配法則を満たすが自明ゆえ証明は省略する．  

　また一般に

  f, g, f', g' ∈ {Z}, f + g√2 = f' + g'√2

ならば

　f = f', g = g'

が成立する．（すなわち二次元の線形空間（ベクトル空間）となる．） 

　{Z(√2)} は「整数の三平方の定理の直交二辺の差」で述べるように，

　x, y, z ∈ {Z⁺} ， ( x, y ) = 1 ， x² + y² = z²

とすれば，

　x - y = f² - 2g² = ( f + g√2 )( f - g√2 )

が成立することから，整数の三平方の定理とも深く関係している．

  従って本稿は「整数の三平方の定理の直交二辺の差」の補足としての意味を持っている．


§§１．判別式が２の拡張ペル方程式と最小整数解．

§1-1. 判別式が２の拡張ペル方程式たち．

　f, g ∈ {Z} ， f² - 2g² = ±1
                                                                                          (1-1-1)
なる式を通常の数学の専門書では判別式が２のペル方程式と呼んでいる．

　本稿では上式の右辺が素数や合成数の場合も扱うことになるので，上式を判別式が２の単数ペル方程式，

あるいは単に単数ペル方程式と呼ぶことにする．（単数の定義は以降の節で述べる．）　 

　右辺が素数 p（ これは後に証明されるように 8k + 1 か 8k + 7 の形の素数 ）となる場合を判別式が２の

素数ペル方程式，あるいは単に素数ペル方程式と呼ぶことにする．

　右辺が合成数 Ｐ（ これは後に証明されるように 8k + 1 か 8k + 7 の形の素数ばかりの積 ) となる場合を

判別式が２の合成数ペル方程式，あるいは単に合成数ペル方程式と呼ぶことにする．

　単数ペル方程式, 素数ペル方程式, 合成数ペル方程式たちを統一して拡張ペル方程式と呼ぶことにしよう．　

　また特別な場合を除き右辺にあらわれる数たちから 2 の冪は全て省いて考える．

　なぜなら両辺の公約数として 2 の冪は消去できるからである．


§1-2. f² - 2g² の分解．

　一般に f,g ∈ {Z⁺} として， 

　f² - 2g² = ( f + g√2 )( f - g√2 )

          = ( -f - g√2 )( -f + g√2 )
                                                                                          (1-2-1)
と分解できることを踏まえて，

　(1-1) f + g√2 を甲型第一因数． 

　(1-2) f - g√2 を甲型第二因数． 
　
　(2-1) -f - g√2 を乙型第一因数． 

　(2-2) -f + g√2 を乙型第二因数． 

と呼んでおくことにする．

　以下の事柄が自明に成り立つ．

　(1) 甲型第一因数は ( f を横軸, g を縦軸にとった座標系で ) 第一象限に属する．

　(2) 甲型第二因数は第四象限に属する．

　(3) 乙型第一因数は第三象限に属する．

　(4) 乙型第二因数は第二象限に属する． 

　(5) 甲型第一因数は常に正である．

　(6) 甲型第二因数と右辺の正負は同じである．

　(7) 乙型第一因数は常に負である．

　(8) 乙型第二因数と右辺の正負は逆である．

　(9) 甲型第一因数と乙型第一因数の絶対値は同じで正負は逆である．

 (10) 甲型第二因数と乙型第二因数の絶対値は同じで正負は逆である．

  本稿では特に区別する必要のない限り甲型第一因数と甲型第二因数を用いて分解する．

　この場合，前者を単に第一因数，後者を単に第二因数と呼んでおくことにする．

　本稿で乙型第一因数や乙型第二因数を考える必要がある場合として，最小整数解を求める場合や単数ペル方程式

の分解で分けられた類たちがクラインの四元群と同型な群を作ることを示す場合などがある．


§1-3. 各種の拡張ペル方程式と最小整数解たち．

　f² - 2g² = ±1 （ 単数ペル方程式 )
                                                                                        (1-3-1-1)
　　　　　 = ±p（ 素数ペル方程式 )
                                                                                        (1-3-1-2)
           = ±Ｐ（ 合成数ペル方程式 )
                                                                                        (1-3-1-3)
のすべてについて甲型第一因数が最小値となる場合を考えよう．

　さて，

　f,g ∈ {Z⁺}

であることから、新たに `f,`g を

　`f + `g√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 ) 
                                                                                        (1-3-2-1)
と定める．すると，

　`f = f + 2g                 
                                                                                        (1-3-2-2)
  `g = f + g
                                                                                        (1-3-2-3)
　`f² - 2`g² = ±( 1, p, Ｐ )
                                                                                        (1-3-2-4)
となる．このとき,さらに

　(1) `f ＞ 0, `g ＞ 0  
                                                                                        (1-3-2-5)
  (2) 2`g ＞ `f ＞ `g
                                                                                        (1-3-2-6)
が成り立っている．

　そこで，上の (1),(2) があらかじめ満たされているとすれば，逆に

　( `f + `g√2 )( -1 + √2 ) = f + g√2
                                                                                        (1-3-3-1)
となる．ここで，

　f = -`f + 2`g, g = `f - `g
                                                                                        (1-3-3-2)
であり，

　f ＞ 0, g ＞0
                                                                                        (1-3-3-3)
  f² - 2g² = ±( 1, p, Ｐ )

は初めから既に満たされていた．また，

　`f ＞ f ＞ 0, `g ＞ g ＞ 0
                                                                                        (1-3-3-4)
となる．

　ここでまだ，

　2g ＞ f ＞ g
                                                                                        (1-3-4-1)
であれば、新たに f', g' を取って，

　f' + g'√2 = ( f + g√2 )( -1 + √2 ) 
                                                                                        (1-3-4-2)
と定めれば，

　f' ＞ 0, g'＞0
                                                                                        (1-3-4-3)
  f'² - 2g'² = ±( 1, p, Ｐ )
                                                                                        (1-3-4-4)
　`f ＞ f ＞ f' ＞ 0, `g ＞ g ＞ g' ＞ 0
                                                                                        (1-3-4-5)
となる．ここでまだ，

　f' ＞ 0, g' ＞ 0， 2g' ＞ f' ＞ g'
                                                                                        (1-3-5-1)
であれば，同様の論法を次々に繰り返して，

   f⁽ⁿ⁾² - 2g⁽ⁿ⁾² = ( ±1, ±p, ±Ｐ )
                                                                                        (1-3-5-2)
　`f ＞ f ＞ f' ＞･･･＞ f^(n-1) ＞ f⁽ⁿ⁾ ＞ 0, 

  `g ＞ g ＞ g' ＞･･･＞ g^(n-1) ＞ g⁽ⁿ⁾ ＞ 0
                                                                                        (1-3-5-3)
なる減少有理正整数列が得られる．

　ある有限の有理正整数から始まって毎回ごとに前回より小さな有理正整数をとることは有限回で尽きる．

　しかし，上述の条件(1),(2)を満たす限り計算は無限に継続できる．

　したがって，このままでは矛盾となる．

　ここで，その終結式が,

　( f^(n-1) + g^(n-1)√2 )( -1 + √2 ) = f⁽ⁿ⁾ + g⁽ⁿ⁾√2
                                                                                        (1-3-6-1)
であったとして，

　f^(n-1) ＞ 0, g^(n-1) ＞ 0
                                                                                        (1-3-6-2)
は満たされているが，もはや，

　2g⁽ⁿ⁾ ＞ f⁽ⁿ⁾ ＞ g⁽ⁿ⁾
                                                                                        (1-3-6-3)
は満たされていないと考えると矛盾が防げる．

　このとき ( f⁽ⁿ⁾, g⁽ⁿ⁾ ) = 1 なる条件の下では

　(1) f⁽ⁿ⁾ = g⁽ⁿ⁾ = 1
                                                                                        (1-3-7-1)
  (1') f⁽ⁿ⁾ = 1, g⁽ⁿ⁾ = 0   ( f⁽ⁿ⁾ ＞ 2g⁽ⁿ⁾ )
                                                                                       (1-3-7-1')
  (2) f⁽ⁿ⁾ ＞ 2g⁽ⁿ⁾
                                                                                        (1-3-7-2)
  (3) f⁽ⁿ⁾ ＜ g⁽ⁿ⁾
                                                                                        (1-3-7-3)
のどれかが成立すると考えられる．

 ( より正確には f⁽ⁿ⁾ = 2g⁽ⁿ⁾ の場合が抜けている．

  これを省いた理由は ( f⁽ⁿ⁾, P ) = 1 という条件に反していることによる．

　具体的には両辺の公約数が 2 の冪となるのだが, これは消去できるからである．

　しかしながら特別に p = 2 の分解を知りたい場合などでは考慮しなければならない．

  また特別な場合でない限り (1') は自明解と呼び除外して考える．

  更に (1),(2),(3) の後に -1 + √2 を乗じればどうなるかについては後節で詳しく述べる．）


　ここで掲げた条件たちを最小条件と呼んで次の名称で区別しよう．

　(1) 単数 g 軸側最小条件  f⁽ⁿ⁾ = g⁽ⁿ⁾ = 1
                                                                                        (1-3-8-1)
  (1') 単数 f 軸側最小条件  f⁽ⁿ⁾ = 1, g⁽ⁿ⁾ = 0   ( f⁽ⁿ⁾ ＞ 2g⁽ⁿ⁾ )
                                                                                       (1-3-8-1')
  (2) f 軸側最小条件  f⁽ⁿ⁾ ＞ 2g⁽ⁿ⁾
                                                                                        (1-3-8-2)
　(3) g 軸側最小条件  f⁽ⁿ⁾ ＜ g⁽ⁿ⁾
                                                                                        (1-3-8-3)
　(4) 素数 2 の f 軸側最小条件  f⁽ⁿ⁾ = 2, g⁽ⁿ⁾ = 1, ( f⁽ⁿ⁾ = 2g⁽ⁿ⁾ )  
                                                                                        (1-3-8-4)
  (4') 素数 2 の g 軸側最小条件  f⁽ⁿ⁾ = 0, g⁽ⁿ⁾ = 1, ( f⁽ⁿ⁾ ＜ g⁽ⁿ⁾ )
                                                                                       (1-3-8-4')
  名称の由来は後節で性質を調べたときに明らかになる．

  ( すでに述べたような理由から, 特別な場合を除き (1'),(4),(4') は除外して考える．

  (2),(3) は後に示すように右辺の p が 8k±1 型の素数か P が 8k±1 型の素数たちの積である合成数

の場合に成立する．) 

　なお, 何れの場合も，適当な指標を n,

　F = f⁽ⁿ⁾ ＞ 0, G = g⁽ⁿ⁾ ＞ 0，( F, G ) = 1
                                                                                        (1-3-9-1)
として， 

  (1) 甲型第一最小整数解  F + G√2
                                                                                      (1-3-9-2-1)
  (2) 甲型第二最小整数解  F - G√2
                                                                                      (1-3-9-2-2)
  (3) 乙型第一最小整数解 -F - G√2
                                                                                      (1-3-9-2-3)
  (4) 乙型第二最小整数解 -F + G√2
                                                                                      (1-3-9-2-4)
と呼んで区別する．

  特に断らない限り甲型第一最小整数解を単に最小整数解または最小解と呼んでおく．

  また, この節で使われた論法の内で以後の議論でも有用となる次ぎの定理たちを掲げておく．

  ( 以下の証明中 Ｎ( ) はノルムの記号．説明はノルムの節を参照．)

 [定理 1-3-1]

  f, g, f', g' ∈ {Z}, P ∈ { 1, 8k±1 型の素数ばかりの任意の積 },

  f² - 2g² = (+P,-P)
                                                                                       (1-3-10-1)
　0 ＜ g,  0 ＜ f,
                                                                                       (1-3-10-2)
を前提として,

  f' + g'√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 )
                                                                                       (1-3-10-3)
とすれば, さらに,

  f'² - 2g'² = (-P,+P)   ( 複号同順 )
                                                                                       (1-3-10-4)
  0 ＜ g' ＜ f' ＜ 2g'
                                                                                       (1-3-10-5)
となる．

  [証明]

  f'² - 2g'² = Ｎ(( f' + g'√2 )) = Ｎ(( f + g√2 )( 1 + √2 )) 

  = Ｎ( 1 + √2 )Ｎ( f + g√2 ) = -( f² - 2g² ) = -(+P,-P) = (-P,+P)

  f' + g'√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 ) = ( f + 2g ) + ( f + g )√2, 
 
  ∴ f' = f + 2g, g' = f + g

     0 ＜ f + g ＜ f + 2g ＜ 2f + 2g 

  ∴ 0 ＜ g' ＜ f' ＜ 2g'   // 　 

  [定理 1-3-2]

  f, g, f', g' ∈ {Z}, P ∈ { 1, 8k±1 型の素数ばかりの任意の積 },

  f² - 2g² = (+P,-P)
                                                                                       (1-3-11-1)
　0 ＜ g ＜ f ＜ 2g,
                                                                                       (1-3-11-2)
を前提として,

  f' + g'√2 = ( f + g√2 )( -1 + √2 )
                                                                                       (1-3-11-3)
とすれば, さらに,

  f'² - 2g'² = (-P,+P)   ( 複号同順 )
                                                                                       (1-3-11-4)
  0 ＜ f' ＜ f,  0 ＜ g' ＜ g
                                                                                       (1-3-11-5)
となる．

  [証明]

  f'² - 2g'² = Ｎ(( f' + g'√2 )) = Ｎ(( f + g√2 )( -1 + √2 )) 

  = Ｎ( -1 + √2 )Ｎ( f + g√2 ) = -( f² - 2g² ) = -(+P,-P) = (-P,+P)

  f' + g'√2 = ( f + g√2 )( -1 + √2 ) = ( 2g - f ) + ( f - g )√2, 

  ∴ f' = 2g - f, g = f - g

  g ＜ f ＜ 2g  ⇒  f ＜ 2g ＜ 2f  ⇒  0 ＜ 2g - f ＜ f  ⇒  ∴ 0 ＜ f' ＜ f 　 

  g ＜ f ＜ 2g  ⇒  0 ＜ f - g ＜ g  ⇒  ∴ 0 ＜ g' ＜ g   // 　 

　　      
§1-4. f 軸側双曲線, g 軸側双曲線，共有漸近線，切片，最小解，隣接解．

　f² - 2g² = |Ｐ|
                                                                                        (1-4-1-1)
を f 軸側双曲線，

　f² - 2g² = -|Ｐ|
                                                                                        (1-4-1-2)
を g 軸側双曲線と名付けよう．

（ 私のグラフでは f を横軸 g を縦軸に取って考えているが横縦が逆でも意味は同じ．) 

  グラフの第一象限（ f ≧ 0, g ≧ 0 ）では，

  f 軸側双曲線と g 軸側双曲線は |Ｐ| の値とは無関係に共有漸近線 g = (√2/2)f を持つ．

  f 軸側双曲線は √Ｐ の f 軸切片を持ち，g 軸側双曲線は √(Ｐ/2) の g 軸切片を持つ．

  Ｐ = 1, Ｐ = Q² のとき f 軸切片が有理整数解となる場合がある．この場合は特に断らない限り本稿では

自明解として最小解から省いて考える．


  f 軸側双曲線の最小正整数座標は，右辺が 2 の冪で割り切れる合成数の場合を除くと，  

　(1) Ｐ = 1 のとき．

　先述の自明解を除くと 

  ( F, G ) = ( 3, 2 )    ( 2G ＞ F ＞ G ＞ 0, 2G - F = F - G )
                                                                                        (1-4-2-1)
  (2) Ｐ =（ 2 以外の有理素数か 2 で割れない合成数 ）のとき．

　F_u ＞ 2G_u ＞ 0 であるような ( F_u, G_u )
                                                                                        (1-4-2-2)
  また Ｐ を割り切る異なる有理素数の個数が n 個あれば，この性質を持つ正整数座標は丁度 2^n-1個ある．

 （ 分解一意だが最小解非一意．後節参照．）

  (3) Ｐ = 2 のとき．

　( F, G ) = ( 2, 1 )   ( F = 2G ) 
                                                                                        (1-4-2-3)

  g 軸側双曲線の最小正整数座標は，右辺が 2 の冪で割り切れる合成数の場合を除くと，

  (1) Ｐ = -1 のとき．

　( F, G ) = ( 1, 1 )   ( F = G )
                                                                                        (1-4-3-1)
  (2) Ｐ =（ 2 以外の有理素数か 2 で割れない合成数 ）のとき．

  G_v ＞ F_v ＞ 0 であるような ( F_v, G_v )
                                                                                        (1-4-3-2)
　また Ｐ を割り切る異なる有理素数の個数が n 個あれば，この性質を持つ正整数座標は丁度 2^n-1個ある．

　（ 分解一意だが最小解非一意．後節参照．）

　(3) Ｐ = -2 のとき．

　( F, G ) = ( 0, 1 )    （ 自明解 )

　( F, G ) = ( 4, 3 )    （ 自明解でない最小解，2G ＞ F ＞ G ＞ 0 )
                                                                                        (1-4-3-3)

　これらの曲線上で最も近い整数座標解を片側隣接解と呼ぼう．　

　互いの隣接解たちを ( f, g ), ( f", g" ) とすれば，

　f" + g"√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 )² = ( f + g√2 )( 3 + 2√2 )
                                                                                      (1-4-4-1-1)
　f + g√2 = ( f" + g"√2 )( -1 + √2 )² = ( f" + g"√2 )( 3 - 2√2 ) 
                                                                                      (1-4-4-1-2)
　∴ f" = 3f + 4g, g" = 2f + 3g, 
                                                                                      (1-4-4-2-1)
     f = 3f" - 4g", g = -2f" + 3g", 
                                                                                      (1-4-4-2-2)
　∴ f"" = 3f" + 4g", g"" = 2f" + 3g", 
                                                                                      (1-4-4-3-1)
     f" = 3f"" - 4g"", g" = -2f"" + 3g"", 
                                                                                      (1-4-4-3-2)
  ∴ f"" = 6f" - f, g"" = 6g" - g
                                                                                      (1-4-4-4-1)
     f = 6f" - f"", g = 6g" - g""
                                                                                      (1-4-4-4-2)
     f" - f = g" + g, f"" - f" = g"" + g", f"" - f = g"" + 2g" + g
                                                                                      (1-4-4-4-3)
  ∴ f"" + g""√2 = 6( f" + g"√2 ) - ( f + g√2 )
                                                                                      (1-4-4-5-1)
     f + g√2 = 6( f" + g"√2 ) - ( f"" + g""√2 )
                                                                                      (1-4-4-5-2)

  一方 f' + g'√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 ) の場合は f 軸側双曲線と g 軸側双曲線を交互に縫うように

隣接している．これを両側隣接と呼んで片側隣接と区別する．

　本稿では特に断らない限り隣接とは両側隣接を指すものとする．

  両側隣接においては f_n + g_n√2  = ( F + G√2 )( 1 + √2 )ⁿ とすれば

  f_n² - 2g_n² = (-1)ⁿ( F² - 2G² ) = (-1)ⁿ|Ｐ|

から g_n/f_n は √2/2 の値を中心として上下で振動しながら徐々に √2/2 に収束する．
 　

§1-5. 両側漸化の補助方程式から片側漸化の補助方程式を導く方法．

　既に述べたように，

　f' + g'√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 ),
                                                                                        (1-5-1-1)
  f'' + g''√2 = ( f' + g'√2 )( 1 + √2 )
                                                                                        (1-5-1-2)
として，

  f' = f + 2g, g' = f + g,
                                                                                        (1-5-2-1)
  f'' = f' + 2g', g'' = f' + g'
                                                                                        (1-5-2-2)
  ∴ f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g,
                                                                                        (1-5-3-1)
     f = f'' - 2f', g = g'' - 2g'
                                                                                        (1-5-3-2)
     f'' = g' + g'', g'' = ( f' + f'' )/2
                                                                                        (1-5-3-3)
     f'' + g''√2 = 2( f' + g'√2 ) + ( f + g√2 )
                                                                                        (1-5-4-1)
     f + g√2 = ( f'' + g''√2 ) - 2( f' + g'√2 )
                                                                                        (1-5-4-2)
　そこで, 

  f_n + g_n√2 = ( F + G√2 )( 1 + √2 )ⁿ
                                                                                        (1-5-5-1)
たちを両側漸化(ぜんか)と呼ぼう．

　その補助方程式は f'' = x², f = x または g'' = x², g = x とおくことにより，

　x² - 2x - 1 = 0
                                                                                        (1-5-5-2)
となる．

  このときの根たちを α，β とすれば，

　α = 1 + √2，β = 1 -　√2  
                                                                                        (1-5-5-3)
となり，ここから，

　f_n = F( αⁿ + βⁿ )/2 + G( αⁿ - βⁿ )/√2,
                                                                                      (1-5-5-4-1)
  g_n = F( αⁿ - βⁿ )/(2√2) + G( αⁿ + βⁿ )/2
                                                                                      (1-5-5-4-2)
となる， 

  ( 試しに f_n だけ解いておくことにする．

  適当な複素数の係数を s, t として,

　f_n = sαⁿ + tβⁿ 　

と仮定する．

  すると,

  f_n+2 - 2f_n+1 - f_n 

  = ( sαⁿ⁺² + tβⁿ⁺² ) - 2( sαⁿ⁺¹ + tβⁿ⁺¹ ) - ( sαⁿ + tβⁿ )

  = sαⁿ( α² - 2α - 1 ) + tβⁿ( β² - 2β - 1 )

  = 0

となるので,

　sα⁰ + tβ⁰ = s + t = ( F + G√2 )( 1 + √2 )⁰ の実部

　sα¹ + tβ¹ = sα + tβ = ( F + G√2 )( 1 + √2 )¹ の実部

とおいて, 係数 s, t について連立二元一次方程式を立てて解けば良い．すなわち,
 
  s + t = F                     (1)
　
  (1+√2)s + (1-√2)t = F + 2G   (2)

  これを解けば,

  s = ( F + G√2 )/2, t = ( F - G√2 )/2

  ∴ f_n = sαⁿ + tβⁿ = (( F + G√2 )/2)αⁿ + (( F - G√2 )/2)βⁿ

    = F( αⁿ + βⁿ )/2 + G( αⁿ - βⁿ )/√2  )

 （ ただし単数ペル方程式

  f_n² - 2g_n² = ±1

の場合は 

  F = G = 1,

　F/2 + G/√2 = ( 1 + √2 )/2 = α/2, F/2 - G/√2 = ( 1 - √2 )/2 = β/2 

となるので,

　f_n = ( αⁿ⁺¹ + βⁿ⁺¹ )/2

  同様に,

　g_n = ( αⁿ⁺¹ - βⁿ⁺¹ )/(2√2)

となる．）

　さらに,

　f" + g"√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 )² = ( f + g√2 )( 3 + 2√2 ),
                                                                                      (1-5-6-1-1)
  f"" + g""√2 = ( f" + g"√2 )( 3 + 2√2 )
                                                                                      (1-5-6-1-2)
とすれば，
  
　f"" = 6f" - f, g"" = 6g" - g
                                                                                      (1-5-6-2-1)
  f = 6f" - f"", g = 6g" - g""
                                                                                      (1-5-6-2-2)
 ∴ f"" + g""√2 = 6( f" + g"√2 ) - ( f + g√2 )
                                                                                      (1-5-6-3-1)
    f + g√2 = 6( f" + g"√2 ) - ( f"" + g""√2 )
                                                                                      (1-5-6-3-2)
となるのであった．

　そこで, 

　f_2n + g_2n√2 = ( F + G√2 )( 1 + √2 )²ⁿ = ( F + G√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ
                                                                                        (1-5-5-5)
たちを片側漸化と呼ぼう．

　その補助方程式は f"" = X², f" = X または g"" = X², g" = X とおくことにより，

　X² - 6X + 1 = 0
                                                                                        (1-5-5-6)
となる．

　このときの根たちを Α，Β とすれば，

　Α = 3 + 2√2，Β = 3 - 2√2,
                                                                                      (1-5-5-7-1)
  Α = α², Β = β²
                                                                                      (1-5-5-7-2)
となり，ここから，

　f_2n = F( Αⁿ + Βⁿ )/2 + G( Αⁿ - Βⁿ )/√2 = F( α²ⁿ + β²ⁿ )/2 + G( α²ⁿ - β²ⁿ )/√2,
                                                                                      (1-5-5-8-1)
  g_2n = F( Αⁿ - Βⁿ )/(2√2) + G( Αⁿ + Βⁿ )/2 = F( α²ⁿ - β²ⁿ )/(2√2) + G( α²ⁿ + β²ⁿ )/2
                                                                                      (1-5-5-8-2)
となる， 
　
　さて, 両側漸化の補助方程式から片側漸化の補助方程式を別の方法で誘導して見よう．

  以下のような方法がある．

  x² - 2x - 1 = 0,
                                                                                        (1-5-6-1)
  X = x²
                                                                                        (1-5-6-2)
から，

　X = 2x + 1
                                                                                        (1-5-6-3)
　この両辺を二乗して，

　X² = ( 2x + 1 )² = 4x² + 4x + 1 = 4( x² - 2x - 1 ) + 12x + 5 

      = 12x + 5 = 6( 2x + 1 ) - 1 = 6X - 1
               
  ∴ X² - 6X + 1 = 0
                                                                                        (1-5-6-4)
  こうして以前と同じ片側漸化の補助方程式　X² - 6X + 1 = 0 が得られる．

 （ より専門的には f_n, g_n は二項回帰数列と呼ぶべきである．が,

　ここでは呼び易さを考慮して簡単に漸化と呼んでおく．）
　

§§２．判別式が２の単数ペル方程式と単数群．

§2－1. 判別式が２の単数ペル方程式の因数たちの横の漸化式, 縦の漸化式, 極限値． 

　F, G, Ｐ ∈ {Z⁺}，( F, G ) = 1，

　F² - 2G² = ±Ｐ,
                                                                                          (2-1-1)
を前提として，

　前節の最小条件のうち， 

　(1) F = G                       
                                                                                          (2-1-2)
が成り立つ場合を考える．

　このとき，

　F² - 2G² = -G²

となるので, 

  Ｐ = 1, F = G = 1

が適当となる．

　ここで ( F,G ) = ( 1，1 ) は

　f,g ∈ {Z⁺}，f² - 2g² = ±1 
                                                                                          (2-1-3)
の解として良い．すなわち単数ペル方程式の特別な解となる．

　ここで新たに r を， 

  r = F + G√2 = 1 + √2
　
と定義すると r は {Z(√2)} の要素である．さらに，

　n, f_n, g_n ∈ {Z⁺}

として，

　f_n + g_n√2 =  rⁿ = ( 1 + √2 )ⁿ      
                                                                                        (2-1-4-1)
と定義する．

　このとき，

  f_n+1 + g_n+1√2 = ( f_n + g_n√2 )( 1 + √2 ) = ( f_n + 2g_n ) + ( f_n + g_n )√2

  ゆえに，

  f_n+1 = f_n + 2g_n
                                                                                      (2-1-4-2-1)
  g_n+1 = f_n + g_n
                                                                                      (2-1-4-2-2)
  そうすると，さらに，

  f_n+2 = f_n+1 + 2g_n+1
                                                                                      (2-1-4-3-1)
  g_n+2 = f_n+1 + g_n+1
                                                                                      (2-1-4-3-2)
となるが，ここから，

　f_n+2 = f_n+1 + 2g_n+1 = f_n+1 + 2( f_n + g_n ) = f_n+1 + 2f_n + f_n+1 - f_n

         = 2f_n+1 + f_n                   
                                                                                      (2-1-4-4-1)
  g_n+2 = f_n+1 + g_n+1 = f_n + 2g_n + g_n+1 = g_n+1 - g_n + 2g_n + g_n+1

         = 2g_n+1 + g_n
                                                                                      (2-1-4-4-2)
  (2-1-4-3-1),(2-1-4-3-2) の関係を横の漸化式,(2-1-4-4-1),(2-1-4-4-2) の関係を縦の漸化式と呼んでおく．
 
　(2-1-4-4-1),(2-1-4-4-2) では増加の法則が同じであることがわかる．

　これは f_n と g_n が同じ両側漸化方程式 x² - 2x - 1 = 0 で表され初期条件だけが異なっているためである．

　これを解けば，

　f_n = ( ( 1 + √2 )ⁿ + ( 1 - √2 )ⁿ )/2,  g_n = ( ( 1 + √2 )ⁿ - ( 1 - √2 )ⁿ )/(2√2)
                                                                                        (2-1-4-5)
と表示できる．

　一般には，

　(1) n = 1 のとき，

　　　f₁ = F = 1, g₁ = G = 1
                                                                                        (2-1-5-1)
  (2) n ≧ 2 のとき，

　　　g_n ＜ f_n ＜ 2g_n
                                                                                        (2-1-5-2)
が成り立つことは既に述べた．

  r^-1 = 1/r = 1/(1+√2) = -1 + √2 ＞ 0,  0 ＜ r^-1 ＜ 1
                                                                                        (2-1-6-1)
なので

  r^-n = ( -1 + √2 )ⁿ ＞ 0,  0 ＜ r^-n ＜ 1
                                                                                        (2-1-6-2)
となる．

　以下の定理が成り立つ．

　[定理 2-1]
　
　m ∈ {Z⁺} として，

　(1) n = 2m - 1 ならば，

　0 ＜ g_n ≦ f_n ＜ g_n√2
                                                                                      (2-1-7-1-1)
となり,        

  r^-n = -f_n + g_n√2
                                                                                      (2-1-7-1-2)
は乙型第二因数となる．

  (2) n = 2m のとき，

  0 ＜ g_n√2 ＜ f_n ＜ 2g_n
                                                                                      (2-1-7-2-1)
となり,

  r^-n = f_n - g_n√2
                                                                                      (2-1-7-2-2)
は甲型第二因数となる．

  [証明]

  (1-1) n = 1 のとき，

  r^-n =  r^-1 = -1 + √2 = -f₁ + g₁√2
  
  ∴ f₁ = 1, g₁ = 1

　∴ 0 ＜ g₁ = f₁ ＜ g₁√2,   

  r^-1 = -f₁ + g₁√2

は乙型第二因数である．

  (1-2) n = 2m - 1 のとき，

  0 ＜ g_2m-1 ≦ f_2m-1 ＜ g_2m-1√2,

　r^-2m+1 = -f_2m-1 + g_2m-1√2,

が乙型第二因数であることが既に示されてあるとする．

  (1-3) n = 2m + 1 のとき，

　r^-n = r^-2m-1 = r^-2m+1r^-2 = ( -f_2m-1 + g_2m-1√2 )( -1 + √2 )² = ( -f_2m-1 + g_2m-1√2 )( 3 - 2√2 )
   
  = ( -3f_2m-1 - 4g_2m-1 ) + ( 2f_2m-1 + 3g_2m-1 )√2

  ここで,  

  r^-n = -f_2m+1 + g_2m+1√2

とすると,

  f_2m+1 = 3f_2m-1 + 4g_2m-1 ≧ 7

  g_2m+1 = 2f_2m-1 + 3g_2m-1 ≧ 5

となる．

　ところが，

　   0 ＜ r^-n ＜ 1  

　∴ 0 ＜ -f_2m+1 + g_2m+1√2  ＜ 1

  ∴ 5 ≦ g_2m+1 ＜ g_2m+1√2 - 1 ＜ f_2m+1 ＜ g_2m+1√2 

  それで，ここでも，

  0 ＜ g_2m+1 ＜ f_2m+1 ＜ g_2m+1√2,　　             　 

  r^-2m-1 = -f_2m+1 + g_2m+1√2

が乙型第二因数である．が成り立っている．

　こうして，(1-1),(1-2),(1-3) から，(2-1-7-1-1),(2-1-7-1-2) が正しいことが示された．


  (2-1) n = 2 のとき，

  r^-n = r^-2 = ( -1 + √2 )² = 3 - 2√2

　r^-2 = f₂ - g₂√2

とおけば,

　f₂ = 3, g₂ = 2

となる．

  ∴ g₂√2 ＜ f₂ ＜ 2g₂,
  
  r^-2 = f₂ - g₂√2

は甲型第二因数である．

  (2-2) n = 2m のとき，

  r^-n = r^-2m = ( ( -1 + √2 )² )^m = ( 3 - 2√2 )^m

  g_2m√2 ＜ f_2m ＜ 2g_2m,

　r^-2m = f_2m - g_2m√2

が甲型第二因数であることが既に示されてあるとする． 

　(2-3) n = 2m+2 のとき，

  r^-n = r^-2m-2 = ( ( -1 + √2 )² )^m+1 = ( 3 - 2√2 )^m( 3 - 2√2 ) = ( f_2m - g_2m√2 )( 3 - 2√2 )

  = ( 3f_2m + 4g_2m ) - ( 2f_2m + 3g_2m )√2

  ここで，

  r^-n = f_2m+2 - g_2m+2√2

とおくと，

  f_2m+2 = 3f_2m + 4g_2m ≧ 7

　g_2m+2 = 2f_2m + 3g_2m ≧ 5

  ところが，

　0 ＜ r^-n ＜ 1

  ∴ 0 ＜ f_2m+2 - g_2m+2√2 ＜ 1  

  ∴ g_2m+2√2 ＜ f_2m+2 ＜ g_2m+2√2 + 1 ＜ 2g_2m+2

  それで，ここでも，

  0 ＜ g_2m+2√2 ＜ f_2m+2 ＜ 2g_2m+2,

  r^-2m-2 = f_2m+2 - g_2m+2√2
 
が甲型第二因数であるが成り立っている． 

　こうして，(2-1),(2-2),(2-3) から，(2-1-7-2-1),(2-1-7-2-2) が正しいことが示された．

 （証明終り）


　すなわち，

　(1) n が奇数のとき，

　f_n/g_n ＜ √2
                                                                                        (2-1-8-1)
  (2) n が偶数のとき，

　f_n/g_n ＞ √2
                                                                                        (2-1-8-2)
となり, n の増加につれて限りなく √2 に近づく．

  これと関係して，

  f₁/g₁ = 1
                                                                                        (2-1-8-3)
  f_n+1/g_n+1 = ( f_n + 2g_n )/( f_n + g_n ) = 1 + 1/( 1 + f_n/g_n )
                                                                                        (2-1-8-4)
から,  

　√2 = 1 + 1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+ …,
                                                                                        (2-1-8-5)
という無限循環連分数が得られる．


  第一因数と第二因数に関して,

　f ＞ 0, g ＞ 0,  

  ( f + g√2 ) | f - g√2 | = 1,

から, 

　| f - g√2 | ＜ 1 ＜ f + g√2
                                                                                        (2-1-9-1)
であることが分る．

　さらに,

　‭… ＜ |f₃-g₃√2| ＜ |f₂-g₂√2| ＜ |f₁-g₁√2| 

　　　　　　　　　　　 ＜ 1 ＜ f₁+g₁√2 ＜ f₂+g₂√2 ＜ f₃+g₃√2 ＜ …,      
                                                                                        (2-1-9-2)
となる．

　一口で言えば，異符号ならば絶対値が 1 より小で，同符号ならば絶対値が 1 より大である．

　また,

　g_n ＜ f_n ＜ 2g_n, 

  2g_n ＜ f_n + g_n = g_n+1

から,  

　g₁ ≦ f₁ ＜ 2g₁ ≦ g₂ ＜ f₂ ＜ 2g₂ ＜ g₃ ＜ f₃ ＜ 2g₃ ＜ …,
                                                                                        (2-1-9-3)
となる．

　
§2－2. 判別式が２の単数ペル方程式のすべての甲型第一因数たち．

　前節で述べたことで必要なことを再掲しておく．

　単数ペル方程式を

　f,g ∈ {Z⁺},  

　f² - 2g² = ±1
                                                                                          (2-2-1)
とする．

  最小整数解を r とすれば,

　r = f₁ + g₁√2 = 1 + √2
                                                                                          (2-2-2)
であり，

　n ∈ {Z⁺}, 

  r_n = rⁿ 

  = f_n + g_n√2 = ( f₁ + g₁√2 )ⁿ
                                                                                          (2-2-3)
と定義した．

　このとき,

  f_n² - 2g_n² = ±1
                                                                                          (2-2-4)
が満たされ, r_n たちは甲型第一因数と呼ばれるのであった．

　問題は (2-2-4) を満たす甲型第一因数たちは (2-2-3) だけで尽くされるかどうかということである．

  次の定理が成り立つ．

　[定理 2-2]

  a,b ∈ {z⁺},

　a² - 2b² = ±1,
                                                                                        (2-2-5-1)
　rⁿ ＜ a + b√2 ＜ rⁿ⁺¹
                                                                                        (2-2-5-2)
となるような因数 a + b√2 は存在しない．

　言い換えると単数ペル方程式の甲型第一因数たちは最小整数解 r の冪たちだけで尽くされる．

  [証明]

  (2-2-5-2) に r^-n を乗じて,

　1 ＜ ( a + b√2 )r^-n ＜ r
                                                                                        (2-2-5-3)
を得る．

　さらに,

  a',b'∈ {z},

　a' + b'√2 = ( a + b√2 )r^-n
                                                                                        (2-2-5-4)
と定義すれば,

  1 ＜ a' + b'√2 ＜ r
                                                                                        (2-2-5-5)
  a'² - 2b'² = ±1
                                                                                        (2-2-5-6)
  ゆえに a' + b'√2 は 1 より大でしかも (2-2-5-6) を満たすので甲型第一因数である．

　∴ 0 ＜ a', 0 ＜ b',

  しかし，このような甲型第一因数 a' + b'√2 が仮に存在するとすれば，

　f² - 2g² = ±1

を満たす最小の甲型第一因数が r であるという事実に反する．　  

　よって矛盾である．

　この矛盾は，r の冪でない甲型第一因数 a + b√2 は存在しないと考えると防げる．

　ゆえに定理は正しい．

 （証明終り）　

　こうして単数ペル方程式を満たす甲型第一因数たちは最小整数解 r の冪たちだけで尽くされることが分る．


§2-3. 単数ペル方程式の因数たちの類とクラインの四元群．

　この節では，単数ペル方程式の解の内，甲型第一因数，甲型第二因数，乙型第一因数，乙型第二因数たちを全て扱う．

　また，( f = 1, g = 0 ), ( f = -1, g = 0 ) なる自明解も除外しないで考える．

　そうすると全体がより捕らえ易くなるからである．　　

　前節で述べたことに基づいて自明解を含めた単数ペル方程式

　f,g ∈ {Z⁺,0} 

　f² - 2g² = ±1
                                                                                          (2-3-1)
の甲型第一因数たちは,

　n ∈ {Z⁺,0}

　f_n + g_n√2 = ( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, … ) 
                                                                                          (2-3-2)
で尽くされる．

  これを基にしてそれぞれの型の因数たちは,

　(1) 甲型第一因数　f_n + g_n√2
　
  (2) 甲型第二因数　f_n - g_n√2

  (3) 乙型第一因数 -f_n - g_n√2
 
  (4) 乙型第二因数 -f_n + g_n√2

で求められる．

　このとき n を各因数の指標と呼ぼう．

　これらの指標たちは後では，さらに奇数指標と偶数指標に分けて類別する．　

　(2-3-2) の自明解も含めた全ての因数たちは上の四つの内のただ一つに漏れなく属すと考えてよい．

 （ 自明解のうち 1 は甲型第一因数の 0 番目に -1 は乙型第一因数の 0 番目に含めて扱う．）

  ここで, R を新たな数として,

　R = r² = ( 1 + √2 )² = 3 + 2√2
                                                                                          (2-3-3)
とすると,

  R^-1 = 3 - 2√2

となる．

　そこで,

　m ∈ {Z}, n = 2m

として,

　Rⁿ = r^2m の集合を {R} であらわすことにする．

  この集合は具体的には,

　{R} = { ・・・, r^-6, r^-4, r^-2, r⁰, r², r⁴, r⁶, ・・・ }

      = { ・・・, R^-3, R^-2, R^-1, R⁰, R¹, R², R³, ・・・ }
　
 　　 = { ・・・, 99-70√2, 17-12√2, 3-2√2, 1, 3+2√2, 17+12√2, 99+70√2, ・・・ }
　
となる．

  {R} の特徴を列挙すると,

  (1-1) f² - 2g² = 1,  ( f ＞ 0 )
                                                                                        (2-3-4-1)
に属する．なお上式を正 f 軸側単数ペル方程式と呼んでおく．

  より具体的には右半平面にある f 軸側双曲線上の全ての整数格子点の集合である．

  (1-2) 自明解 1 を含む． 

　(1-3) 甲型第一因数の偶数番目を全て含む．

　(1-4) 甲型第二因数の偶数番目を全て含む．

　(1-5) 乗法逆元を含む．

  (1-6) 単数たちのうちで乗法部分群として閉じている．（単数の定義は以降の節で述べる．）　 

　さらに, {R} の全ての要素に -1 を乗じた集合を考えこれを -{R} であらわす．

  具体的には,

　-{R} = { ・・・, -r^-6, -r^-4, -r^-2, -r⁰, -r², -r⁴, -r⁶, ・・・ }

       = { ・・・, -R^-3, -R^-2, -R^-1, -R⁰, -R¹, -R², -R³, ・・・ }

       = { ・・・, -99+70√2, -17+12√2, -3+2√2, -1, -3-2√2, -17-12√2, -99-70√2, ・・・ }

となる．

　-{R} の特徴は,

  (2-1) 負 f 軸側単数ペル方程式
  
  f² - 2g² = 1,  ( f ＜ 0 )
                                                                                        (2-3-4-2)
に属する．

　より具体的には左半平面にある f 軸側双曲線上の全ての整数格子点の集合である．

  (2-2) 自明解 -1 を含む． 

　(2-3) 乙型第一因数の偶数番目を全て含む．

　(2-4) 乙型第二因数の偶数番目を全て含む．

　(2-5) 乗法逆元を持つ．

  (2-6) 単数たちのうちで乗法部分類となっている．

　さらに, {R} に r = 1 + √2 を乗じた集合を考え、これを r{R} であらわす．

　具体的には,

　r{R} = { ・・・, r^-5, r^-3, r^-1, r¹, r³, r⁵, r⁷, ・・・ }

       = { ・・・, rR^-3, rR^-2, rR^-1, rR⁰, rR¹, rR², rR³, ・・・ } 

       = { ・・・,-41+29√2, -7+5√2, -1+√2, 1+√2, 7+5√2, 41+29√2, 239+169√2, ・・・ }

となる． 

  r{R} の特徴は,

  (3-1) 正 g 軸側単数ペル方程式

　f² - 2g² = -1,  ( g ＞ 0 )                         
                                                                                        (2-3-5-1)
に属する．

　より具体的には上半平面にある g 軸側双曲線上の全ての整数格子点の集合である．

  (3-2) 甲型第一因数の奇数番目を全て含む．

　(3-3) 乙型第二因数の奇数番目を全て含む．

　(3-4) 乗法逆元を含む．

  (3-5) 単数たちのうちで乗法部分類となっている．

　さらに, {R} に -r = -1-√2 を乗じた集合を考え、これを -r{R} であらわす．

　具体的には,

　-r{R} = { ・・・, -r^-5, -r^-3, -r^-1, -r¹, -r³, -r⁵, -r⁷, ・・・ }

        = { ・・・, -rR^-3, -rR^-2, -rR^-1, -rR⁰, -rR¹, -rR², -rR³, ・・・ } 

        = { ・・・, 41-29√2, 7-5√2, 1-√2, -1-√2, -7-5√2, -41-29√2, -239-169√2, ・・・ }

となる． 

  -r{R} の特徴は,

  (4-1) 負 g 軸側単数ペル方程式

　f² - 2g² = -1,  ( g ＜ 0 )                         
                                                                                        (2-3-5-2)
に属する．

  より具体的には下半平面にある g 軸側双曲線上の全ての整数格子点の集合である．

  (4-2) 乙型第一因数の奇数番目を全て含む．

　(4-3) 甲型第二因数の奇数番目を全て含む．

　(4-4) 乗法逆元を含む．

  (4-5) 単数たちのうちで乗法部分類となっている．

  これらの類どうしの乗法には次の規則がある．

  (1) 乗法は可換である．

　(2) {R} は乗法の単位元となっている．

　すなわち,

  {R}×{R} = {R}, -{R}×{R} = -{R}, r{R}×{R} = r{R}, -r{R}×{R} = -r{R}  

となっている． ( {R} は掛けた相手の結果を変えない．ゆえに {R} は単位元である．）

　(3) 自分自身が逆元となっている．（ 同じ類同士の積が単位元 {R} となる．）

　すなわち,

　{R}×{R} = {R}, -{R}×-{R} = {R}, r{R}×r{R} = {R}, -r{R}×-r{R} = {R} 

となっている．

　(4) 単位元を除く三者のうちの二者の乗法は残った一者となる．

　すなわち,

  -{R}×r{R} = -r{R}, r{R}×-r{R} = -{R}, -r{R}×-{R} = r{R}

となっている．

　(5) これらはクラインの四元群と呼ばれている群と同型となる．

　次の定理を証明しておく． 　

　[定理 2-3]

  四位の群が巡回群でなければ, クラインの四元群と同型となる．

　[証明]

  任意の有限群 G があるとする．（ここでは乗法群であるとしておく．）

　また, G が群であるとは,

  (1) 二項結合が定義されている．

  (2) 結合法則を満たす．
　
  (3) 単位元を含む．

  (4) 任意の元の逆元を含む．

  (5) 任意の二元の結合元を含む．

  (6) (3)～(5) を一口でいえば,

　∀ g₁,g₂ ∈ G  ⇒  ∃ g₁g₂^-1 ∈ G 

となる．

  G の要素の総数が n であるとする．このとき G は n 位の群であると呼ばれる．

  G の単位元を ε とする．

  G の任意の元を g とする．

  G が有限群であることから n 以下の適当な自然数 m が存在して,

  g^m = ε

となる．
　
  このとき,

　H = { ε, g, g², ..., g^m-1 }

は異なる m 個の元が作る G の巡回部分群となる． 

  また,このとき g は m 位の元であると呼ばれる．　　

  m ＜ n

  ならば,

  H = { ε, g, g², ... , g^m-1 }

　以外の元 g' を取り,

　g'H = { g', g'g, g'g², ...., g'g^m-1 }

を作れば, これらは g'H の内部で異なり H の内部とも異なった新たな m 個の元たちとなる．

　このとき, g'H の作る集合を G の部分類あるいは単に類という．
　
　これを繰り返すことで, G の元たちは丁度 m 個づつの類たちに分けられる．

　すると,　m は n の約数であることが分る．

　すなわち, 元の位数 m は群の位数 n の約数となる．　  

  特に n 位の群 Ｇ が n 位の元 g を含んでいるとき, 

　言い換えればいづれかの元の位数が群の位数と一致するとき, G は巡回群となる． 

　さて, 定理の前提によって与えられている群は四位の群である．

　そうすると, 群の位数の約数たちは,

　1, 2, 4

のいづれかとなる．

　1 は単位元の位数であって一つしか許されない．

　それゆえ, 単位元を除く残りの三つの元たちの位数は,

　2, 4

となる．

　ところが与えられた群は巡回群ではないので, 位数が 4 である元を全く持たない．

　ゆえに,この群の単位元以外の三つの元たちの位数は 2 となる．

　ゆえに, これらの元たちを, a, b, c であらわせば,

　a² = b² = c² = ε

  ∴ ab ≠ ε, ab ≠ a, ab ≠ b  　　

  ∴ ab = ba = c, bc = cb = a, ca = ac = b

などが次々に示せるので, 前述のクラインの四元群と同型となる． 

 （証明終り）


§2-4. 単数漸化系．

　そのようなわけで，自明解を含めて単数ペル方程式の甲型第一因数たちは，

  n, f, g ∈ {Z⁺,0},

  f_n + g_n√2 = ( 1 + √2 )ⁿ,  ( n = 0,1,2,… )
                                                                                        (2-4-1-1)
  f_n² - 2g_n² = ±1,
                                                                                        (2-4-1-2)
で漏れなく表示できる．

　ここで (2-4-1-1) を単数漸化系と呼んでおく．また n は指標と呼ぼう．

　このような漸化系は右辺の数が素数や合成数の場合であっても定義できる．

　漸化系は有限個の式で全ての解たちを列挙したいときに便利である．

  単数漸化系は次のように偶数指標漸化系，奇数指標漸化系にも分けられる．

  t ∈ {Z⁺,0}, ( t = 0,1,2,… )

として,

  (1) 偶数指標単数漸化系．

  n = 2t, 

  f_n + g_n√2 = f_2t + g_2t√2 = ( 3 + 2√2 )^t
                                                                                        (2-4-2-1)
  f_n² - 2g_n² = f_2t² - 2g_2t² = 1   ( f ＞ 0, g ＞ 0 )
                                                                                        (2-4-2-2)
  これは f 軸側単数ペル方程式（第一象限）に属する．

  (2) 奇数指標単数漸化系. 

  n = 2t+1,

  f_n + g_n√2 = ( 1 + √2 )( 3 + 2√2 )^t,
                                                                                        (2-4-3-1)
  f_n² - 2g_n² = f_2t+1² - 2g_2t+1² = -1   ( f ＞ 0, g ＞ 0 )
                                                                                        (2-4-3-2)
  これは g 軸側単数ペル方程式（第一象限）に属する．



§2-5. 判別式の正負の違いによる単数ペル方程式の解たちの個数の違いについて．


　以前に判別式が -3 の場合の二次拡大整数環の基本性質を考察した.（ 同名の稿参照 ）

　そこでは単数ペル方程式は 判別式 D' を -3 として,

　f² - D'g² = ±1,   ( D' ＜ 0 )
                                                                                        (2-5-1-1)
  ⇒  f² + |D'|g² = ±1
                                                                                        (2-5-1-2)
  ⇒  f² + 3g² = ±1
                                                                                        (2-5-1-3)
となり, この解たちは有限個で,

  ω = 1/2 + i√3/2,
                                                                                        (2-5-1-4)
として, 解たちの集合を K と書けば, 

  K = { 1, ω, ω², …, ω⁵ } = { 1, 1/2 + i√3/2, -1/2 + i√3/2, -1, -1/2 - i√3/2, 1/2 - i√3/2 }  
                                                                                        (2-5-1-5)
の 6 個となっていた．

　整数解が有限個になる理由は,

  (1-1) 4-1-2 は f : g = 1 : √|D'| の楕円上の整数格子点を意味している.

  (1-2) 4-1-2 は少なくとも自明解でない解 ( この例では ω = 1/2 + i√3/2 ) を少なくとも 1 個は持つ.

  (1-3) ω' を ω の共役数として ±ω, ±ω' の適当な積がまた 4-2-2 の別の解たちとなる.

  (1-4) 4-1-2 で表される楕円上の整数格子点は有限個である.

ことから分る．

　一方, 

  判別式 D が正の場合は, D = 2 を例とすれば,

　f² - Dg² = ±1,   ( D ＞ 0 )
                                                                                        (2-5-2-1)
  ⇒  f² - |D|g² = ±1
                                                                                        (2-5-2-2)
  ⇒  f² - 2g² = ±1
                                                                                        (2-5-2-3)
  この場合に単数が無限個ある理由は,

  (2-1) 4-2-2 は f : g = 1 : 1/√|D| の双曲線上の整数格子点を意味している.

  (2-2) 4-2-2 は少なくとも自明解でない解 ( この例では ω = 1 + √2 ) を少なくとも 1 個は持つ.

  (2-3) ω' を ω の共役数として ±ω, ±ω' の適当な積がまた 4-2-2 の別の解たちとなる.

　(2-4) ゆえに 4-2-2 で表される双曲線上の整数格子点は無限個である.

ことから分る．

　なお, これらの無限個の単数たちも, 本稿で述べたような 4 個の類（単数類）に分ければ有限個となり,

  クラインの四元群と同型な群となる．（単数類群）  

  これらの類たちは本稿の考察と同様に, その属する整数格子点たちにより,

  {R1} f² - |D|g² = 1,   ( f ＞ 0 )
                                                                                      (2-5-2-2-1)
  {R2} f² - |D|g² = -1,  ( g ＞ 0 )
                                                                                      (2-5-2-2-2)
  {R3} f² - |D|g² = 1,   ( f ＜ 0 )
                                                                                      (2-5-2-2-3)
  {R4} f² - |D|g² = -1,  ( g ＜ 0 )
                                                                                      (2-5-2-2-4)
の 4 本の双曲線たちに分けられると考えて良い．  

  従って, これら 4 本の双曲線たちもクラインの四元群と同型な群を作る.  

  {R1} が単位元の作用を持ち, 

  {R1}×{R1} = {R1}, {R2}×{R1} = {R2}, {R3}×{R1} = {R3}, {R4}×{R1} = {R4}

  {R2}×{R2} = {R1}, {R3}×{R3} = {R1}, {R4}×{R4} = {R1}

  {R2}×{R3} = {R4}, {R3}×{R4} = {R2}, {R4}×{R2} = {R3}

となる．  

　この群は単位元以外の元の位数は 2 で巡回しない可換な 4 位の群である．


§§３．判別式が２の二次拡大整数環 {Z(√2)} の一般的性質．

§3-1. 単数，同伴．

　ω,α ∈ {Z(√2)}

として，次節のノルムのところで述べる性質によって

　Ｎ(ωα) = Ｎ(ω)Ｎ(α)

となるので，

　Ｎ(ωα) = Ｎ(α)

ならば

　Ｎ(ω) = 1

であったことになる．

　このような ω は偶数指標単数漸化系の因数に基づいて作られた甲型第一因数，甲型第二因数，乙型第一因数，

乙型第二因数たちで尽くされる．このような ω を二次単数と呼んでおく．

  一方，

　|Ｎ(ωα)| = |Ｎ(α)|

ならば，

　|Ｎ(ω)| = 1

だったことになる．

　このような ω は奇数指標単数漸化系と偶数指標単数漸化系の全ての因数に基づいて作られた甲型第一因数，

甲型第二因数，乙型第一因数，乙型第二因数たちで尽くされる．このような ω は一次単数と呼んでおく．

　本稿では特に断らない限り，単数といえば一次単数を指すものとする．


　α,β を {Z(√2)} の適当な要素，ω を {Z(√2)} の単数として， 

　α = ωβ

であるとき，α と β は同伴な関係であるといい，

　α ∽ β

であらわす．

　同伴であることを前提として議論することで全体の見通しが良くなることが少なくない．

  しかしながら特に単数を考慮する必要のないときは

　α ∽ β

の左辺か右辺に適当な単数を予め乗じて等式を成立させたと仮定して　

　α = β

としても良いとしておく．

　同伴の記号 ∽ を用いない {z(√2)} 上の等式は暗黙の内にこの規則に従っているものと約束する． 


§3-2. 共役数，ノルム，絶対ノルム．

  α を {Z(√2)} の任意の要素とする．

　f, g を {Z} の適当な要素として，

　α = f + g√2

とする．

  本稿では f, g たちを有理整数，α を単に整数といって区別する．

  f - g√2 を f + g√2 と共役な整数という．（ f, g たちが実数の場合は共役な数という．） 

　これを，

　α' = f - g√2

であらわす．

  さらに

　Ｎ(α) = αα' = ( f + g√2 )( f - g√2 ) = f² - 2g²
                                                                                        (3-2-1-1)
と定義し Ｎ(α) を α のノルムという．

  また，|Ｎ(α)| を α の絶対ノルムという．

  次の定理たちが成り立つ．

　[定理 3-2-1]

　α, β たちを {Z(√2)} の任意の整数とする．

　f_a, g_a, f_b, g_b たちを適当な有理整数として，

　α = f_a + g_a√2,

  β = f_b + g_b√2

とすれば，

　(αβ)' = α'β'
                                                                                        (3-2-1-2)
となる．　　 

　[証明]

　αβ = ( f_a + g_a√2 )( f_b + g_b√2 ) = ( f_af_b + 2g_ag_b ) + ( f_ag_b + g_af_b )√2
                               
  ∴ (αβ)' = ( f_af_b + 2g_ag_b ) - ( f_ag_b + g_af_b )√2
                                                                                        (3-2-1-3)
  α' = f_a - g_a√2

  β' = f_b - g_b√2

  α'β' = ( f_a - g_a√2 )( f_b - g_b√2 ) = ( f_af_b + 2g_ag_b ) - ( f_ag_b + g_af_b )√2
                                                                                        (3-2-1-4)
  ∴ (αβ)' = α'β'

  （証明終り）

  [定理 3-2-2]

  α,β が {Z(√2)} の整数ならば，

　Ｎ(αβ) = Ｎ(α)Ｎ(β)
                                                                                        (3-2-2-1)
が成り立つ．

　[証明]
　
　定理 3-2-1 から

  (αβ)' = α'β'

　∴ Ｎ(αβ) = (αβ)(αβ)' = αβα'β' = αα'ββ' = (αα')(ββ') = Ｎ(α)Ｎ(β)   
                                                                                        (3-2-2-2)
  ∴ Ｎ(αβ) = Ｎ(α)Ｎ(β)  

 （証明終わり）

　[定理 3-2-3]

  α, β, γ を {Z(√2)} の適当な整数たちとする．

　γ = αα'β
                                                                                        (3-2-3-1)
であったとする．

　さらに m, f, g を適当な有理整数たちとして，

  Ｎ(α) = m,
                                                                                        (3-2-3-2)
　γ = f + g√2 
                                                                                        (3-2-3-3)
であるならば，

  m|f   かつ   m|g
                                                                                        (3-2-3-4)
となる．

　特に，

　( f, g ) = 1  かつ  αα'|γ  ならば  α は単数である.
                                                                                        (3-2-3-5)
  [証明]

　f_b, g_b を適当な有理整数たちとして，

　β = f_b + g_b√2

として良い．

　題意から，

　Ｎ(α) = αα' = m
                                                                                        (3-2-3-6)
  ∴ γ = αα'β = mβ = m( f_b + g_b√2 ) = mf_b + mg_b√2
                                                                                        (3-2-3-7)
  一方，また題意から，

　γ = f + g√2

  ∴ f = mf_b,  g = mg_b
                                                                                        (3-2-3-8)
  ∴ m|f   かつ   m|g  　

  特に，

　( f, g ) = 1  かつ  αα'|γ  
                                                                                        (3-2-3-9)
  ならば, 

  ( f, g ) = 1  かつ  m|f  かつ  m|g
                                                                                       (3-2-3-10)
となるので，

　m = αα' = 1
                                                                                       (3-2-3-11)
となり，

　α は単数となる．       

 （証明終り）


§3-3. 剰余の絶対ノルム． 

　[定理 3-3-1]

  x, y を適当な実数たちとして，

  -1/2 ≦ x ≦ 1/2, -1/2 ≦ y ≦ 1/2,

ならば，

  |Ｎ( x + y√2 )| ＜ 1
                                                                                        (3-3-1-1)
となる．

　[証明]

  0 ≦ x² ≦ 1/4, 
                                                                                        (3-3-1-2)
  0 ≦ 2y² ≦ 1/2
                                                                                        (3-3-1-3)
　|Ｎ( x + y√2 )| = |x² - 2y²| 
                                                                                        (3-3-1-4)
  (1) x² ≧ 2y² のとき，

　|x² - 2y²| = x² - 2y² ≦ x²

  ∴ |x² - 2y²| ≦ 1/4
                                                                                        (3-3-1-5)
  (2) x² ≦ 2y² のとき，

　|x² - 2y²| = 2y² - x² ≦ 2y²

  ∴ |x² - 2y²| ≦ 1/2
                                                                                        (3-3-1-6)
  いずれにせよ，

  |Ｎ( x + y√2 )| = |x² - 2y²| ＜ 1

　（証明終り）   


　[定理 3-3-2]

  α,β を {Z(√2)} の任意の二つの整数　かつ　 |Ｎ(α)| ≧ |Ｎ(β)|

であるとき，

　適当な {Z(√2)} の整数 γ₁,δ₁ が存在して，

  α = γ₁β + δ₁　かつ |Ｎ(β)| ＞ |Ｎ(δ₁)|
                                                                                        (3-3-2-1)
とできる．

　[証明]

  題意から適当な二つの実数 s,t が存在して，

　α/β = s + t√2
                                                                                        (3-3-2-2)
と仮定して良い．

　s より大きいか小さい有理整数のうちで s に最も近い有理整数を f,

  t より大きいか小さい有理整数のうちで t に最も近い有理整数を g,

  さらに適当な実数を x, y として，

　s = f + x, t = g + y
                                                                                        (3-3-2-3)
と定義して良い．

　⇒　-1/2 ≦ x ≦ 1/2, -1/2 ≦ y ≦ 1/2
                                                                                        (3-3-2-4)
　そこで題意でいう γ₁, δ₁  を，

　γ₁ = f + g√2,

  δ₁ = α - γ₁β

と仮定する．

  ⇒ γ₁,δ₁ ∈ {Z(√2)}

　α/β = s + t√2 = ( f + x ) + ( g + y )√2 = ( f + g√2 ) + ( x + y√2 )

  　　　= γ₁ + ( x + y√2 )

　∴ δ₁ = α - γ₁β = ( x + y√2 )β
                                                                                        (3-3-2-5)
  ところが定理 3-3-1 から, 
 
  |Ｎ(x+y√2)| ＜ 1
                                                                                        (3-3-2-6)
  定理 3-2-2 から

　|Ｎ(δ₁)| = |Ｎ(x+y√2)||Ｎ(β)| ＜ |Ｎ(β)|
                                                                                        (3-3-2-7)
　かくして題意を満たす γ₁,δ₁ の存在が示された．

 （証明終り）


§3-4. ユークリッドの互除法の成立．


　通常の有理整数の割り算に習って定理 3-3-2 の α を被除数または分子，β を除数または分母，

　γ₁ を商，δ₁ を剰余と呼ぶ．

　定理 3-3-2 では剰余 δ₁ の絶対ノルムは分母 β の絶対ノルムより小さな自然数であることを意味している．

  そこで，さらに，β を δ₁ で割って 剰余 δ₂ を求め, δ₁ を δ₂ で割って δ₃ を求める．

　この操作を続けていくと，

　|Ｎ(α)| ≧ |Ｎ(β)| ＞ |Ｎ(δ₁)| ＞ |Ｎ(δ₂)| ＞ |Ｎ(δ₃)| ＞ … 
                                                                                          (3-4-1)
となるような自然数の降下数列が得られる．

　しかしながら，有限の |Ｎ(α)| から始まって毎回ごとに小さな自然数を取り続けることは有限回で尽きる．

　こうしてどこかで途切れるところ，すなわち割り切れるところが存在する．

　このような最後の剰余の番号を n とし n 番目の剰余を δ_n とする．

　結局，適当な商たちを γ₁, … , γ_n-1 として，次のような式たちを得る．

　α = γ₁β + δ₁　　　　　　　

　β = γ₂δ₁ + δ₂

  δ₁ = γ₃δ₂ + δ₃              

     　　 ・・・　 

  δ_n-3 = γ_n-1δ_n-2 + δ_n-1

  δ_n-2 = γ_nδ_n-1 + δ_n 

  δ_n-1 = γ_n+1δ_n                                                                  
                                                                                          (3-4-2)
  これらの式から次のことたちが分る．

　(1) δ_n-1, … , δ₁, β, α は全て δ_n の倍数である．

　(2) δ₁, …, δ_n は全て α の倍数項と β の倍数項の和である．

　したがって，また適当な {Z(√2)} の整数たちを α₁, β₁, μ，ν として，

　(1') α = α₁δ_n, β = β₁δ_n
                                                                                          (3-4-3)
  (2') αμ + βν = δ_n
                                                                                          (3-4-4)
　∴ α₁μ + β₁ν = 1,
                                                                                          (3-4-5)
     ( α₁, β₁ ) = 1
                                                                                          (3-4-6)
  ∴ ( α, β ) = δ_n,
                                                                                          (3-4-7)
     ( |Ｎ(α)|, |Ｎ(β)| ) = |Ｎ(δ_n)| 
                                                                                          (3-4-8)
　すなわち δ_n は α, β の最大公約数であり, 

　|Ｎ(δ_n)| も |Ｎ(α)|, |Ｎ(β)| の有理整数上の最大公約数と考えて良い．

　さらに α と β の積を δ_n で割ったものを最小公倍数として良い．（ 以下を参照 ）

  [簡易証明]

  α,β の 最大公約数を δ とする．

  αβ/δ = αβ₁ = α₁β

　ゆえに αβ/δ は α, β の公倍数になっている．

　すなわち α, β には公倍数が少なくても一つは存在する．

　α, β に最小公倍数があるとしてそれを λ であると仮定する．

　αμ + βν = δ　⇒  λαμ + λβν = λδ　⇒　αβ|λα, αβ|λβ 　

　∴ αβ|λδ  

　∃μ',ν'∈{z(√2)}

　αβ/δ = λμ' + ν'

と仮定する．

  ところが λ の最小性から

　ν' = 0

でなければならない．

　∴ λδ|αβ

  ∴ αβ = λδ 

  ∴ λ = αβ/δ


§3-5．素元分解の一意性．

　{Z(√2)} の整数たちのうち単数と自分以外に約数を持たない数を考える．

　これを有理整数の場合に習って既約な整数，あるいは単に既約数と呼んでおこう．

　次の定理たちが成り立つ．

　[定理 3-5-1]

  π が {Z(√2)} の既約数であり，α,β が {Z(√2)} の適当な整数であるとする．  　 

　（ π が 積αβを割り切るという事実を記号 π|αβ であらわすものとする．）

　π|αβ　⇒  π|α  または  π|β                                                 
                                                                                          (3-5-1)
  すなわち，π が 積αβを割り切るならば，π は α または β を割り切る．

  [証明]

  α と π との間でユークリッドの互除法を実行する．

  適当な {Z(√2)} の整数たちを μ,ν,δ として，

　αμ + πν = δ
                                                                                          (3-5-2)
なる式が得られる．

　ところが，π は既約数であるからその約数は単数か π 自身しかない．

　ゆえに，δ も単数か π のどちらかしか取り得ない．

　(1) δ = 1 のとき， 

　　　αμ + πν = 1
                                                                                          (3-5-3)
となるが，この両辺にβをかける．

　　　αβμ + πβν = β

　ところが，

　π|αβ　⇒  ∴  π|β

　(2) δ = π のとき，

　　　αμ + πν = π
                                                                                          (3-5-4)
　ところがこの式は α と π の間でユークリッドの互除法を実行した結果であることから，

　α 自体がまた δ の倍数である．

　∴  π|α

　（証明終り）

　[定理 3-5-2]

  α₁,α₂, … ,α_n を {Z(√2)} の整数たちとする．

　任意の {Z(√2)} の既約数を π とする．

　π|α₁α₂ … α_n
                                                                                          (3-5-5)
ならば，π は α₁α₂ … α_n のどれか一つを必ず割り切る．

  [証明]

　前の定理の応用．ゆえに省略．

　（証明終わり)

　これ以降では既約数をもはや素数と呼ぶことにする．従来の素数は有理素数と呼んで区別する．

　また単数と素数以外の整数を合成数と呼ぶことにする．


  [定理 3-5-3] （素元分解の一意性の成立）

　π₁, π₂, …, π_m, ρ₁, ρ₂, …,ρ_n を素数たち

  σ を合成数として,

  σ = π₁π₂ … π_m = ρ₁ρ₂ … ρ_n

となるならば,

　m = n, π_i = ω_iρ_i, ω_i は単数,  ( i = 1, 2, …, m ) 

となる．

　すなわち単数の違いを除けば合成数の素数への分解は一意的である． 

  [証明]

  定理 3-5-2 から π₁ は素数であるから ρ₁, ρ₂, …,ρ_n

のどれか一つを割り切らなければならない．

　仮にそれが ρ₁ であったとすれば,

　π₂ … π_m = ω₁ρ₂ … ρ_n, ω₁ は単数

となる．

　このような論法を続けて左辺か右辺かのどちらかが早めに尽きるならば矛盾となる．

　なぜなら何個かの素数たちの積が単数たちの積であらわされるはずがないからである．

　∴ m = n, π_i = ω_iρ_i, ω_i は単数,  ( i = 1, 2, …, m ) 

 （証明終り）

  [定理 3-5-4]

　φ，φ' を {Z(√2)} の適当で共役な整数とする．

　p を適当な有理素数として，

　|Ｎ(φ)| = |φφ'| = p
                                                                                          (3-5-6)
となるときは，

　φ, φ' は素数である．

　一般にこの逆は成立しない．

　[証明]

  題意に反して φ が素数でないと仮定する．

 すなわち α を φ と同伴でない整数で, かつ, 単数でもないとして,

 φ が α で割り切れると仮定する．

　すると適当な {Z(√2)} の整数 β が存在して,

　φ = αβ

となる．

　φ と α は同伴ではないので β はもはや単数ではない．

　α の共役数を α', β の共役数を β' とすると，

　φ' = α'β' 

となる．

　∴ Ｎ(φ) = φφ' = (αβ)(αβ)' = αβα'β' = (αα')(ββ')

　ところが，αα'，ββ' は有理整数となるのでこれらをそれぞれ a, b として，

　a = αα' 

　b = ββ'　

であるとして良い．

　ところが α,β は単数ではないので，a, b は 絶対値が 1 を越える有理整数たちとなる．

　∴ |Ｎ(φ)| = |a||b| = p

  これは矛盾である．

　なぜなら，一つの有理素数 p が 1 を越える二つの有理整数 |a|,|b| たちの積となることはないから．

　この矛盾は φ が φ とは同伴でないような α では割り切れないと考えると防げる．

  ゆえに φ は素数である．

　同様にして φ と共役な φ' も素数であると云える．

  すなわち φ と φ' は互いに共役な素数たちである．

　この逆が成り立たないことは，

  任意の 8k±3 型の有理素数を q として，

　f = q, g = 0

と仮定した場合に，

　φ = f + g√2 = q, φ' = f - g√2 = q

は互いに共役な素数たちではあるが

　Ｎ(φ) = q²

となるので右辺が有理素数の一乗にならない

  ゆえに定理の逆は成り立たない．　

　（証明終り）

　この場合，φ と φ' が互いに共役な素数で，さらに同伴でもある場合が可能性として残される．　

　具体的には有理素数 p = 2 の場合に 

　π = √2, π' = -√2 

となり π, π' は互いに共役な素数たちでしかも同伴である．

　このような場合には π と π' をもはや同じ素数であると考えるべきである．

　2 のような有理素数を分岐する有理素数という．

　これ以外では |Ｎ(π)| が有理素数 p の一乗である限り π と π' は互いに共役だが同伴ではない一組

の素数たちとなる． 

　次の定理が成り立つ．

　[定理 3-5-5]

  π，π' を 適当な {Z(√2)} の共役な整数たちとする．

　p を 2 以外の適当な有理素数として，

　|Ｎ(π)| = |ππ'| = p
                                                                                          (3-5-7)
となるときは，

　もはや {Z(√2)} の単数 ω をどのように選んでも，

　π ≠ ωπ'
                                                                                          (3-5-8)
となる．

　すなわち，π と π' は同伴とはならない．

　このような π，π' は {Z(√2)} の唯一組の互いに共役で独立した二個の素数たちと考えて良い．

　[証明]

　π，π' については適当な有理整数たちを f, g として，

  π = f + g√2

　π' = f - g√2

　ππ' = f² - 2g² = ±p
                                                                                          (3-5-9)
として良い．

  また，単数 ω については適当な有理整数たちを a, b として，

　ω = a + b√2,
                                                                                         (3-5-10)
  a² - 2b² = ±1

として良い．

　これらを前提として, 仮に定理に反して，

　π = ωπ'
                                                                                         (3-5-11)
となるなら矛盾することが示せるならば定理は真となる．

  3-5-11 を変形して，

　ω = π/π' = π²/(ππ') = ±( f + g√2 )²/p 

     = ±( f² + 2g² + 2fg√2 )/p
                                                                                       (3-5-12-1)
　∴ a = ±( f² + 2g² )/p,
                                                                                       (3-5-12-2)
     b = ±2fg/p
                                                                                       (3-5-12-3)
　仮定により p は 2 以外の有理素数である．

  ∴ ( f² + 2g², fg, p ) = ( f, g, p ) = p
                                                                                         (3-5-13)
  ∴ ( f², 2g², p² ) = ( f² - 2g², p² ) = p² 
                                                                                         (3-5-14)
  これは 3-5-9 で右辺が p の一乗でしか割り切れなかったことと矛盾する．

　この矛盾は 3-5-11 で

　π = ωπ'

となると仮定したことから起こっている．

　∴ π ≠ ωπ'
                                                                                          (3-5-8)
　ここで証明されたことと 定理 3-5-4 から π, π' たちは少なくとも次の性質を持つことが分る．

　(1) π, π' は互いに共役な整数たちである．

　(2) 定理 3-5-4 から π, π' たちは素数である．

　(3) 3-5-8 から π, π' は互いに同伴な整数ではない．

　結局 π，π' たちは {Z(√2)} の唯一組の互いに共役で独立した二個の素数たちであると考えて良い． 

 （証明終り）　


§3-6. 一次の有理素数，二次の有理素数，分岐する有理素数．


　{Z(√2)} の素数 π の絶対ノルムが同じ有理素数の何乗かであらわされるとき，可能な最小次数を考えよう．

　これには一乗が最小になるものと，二乗が最小になるものとがある．

　前者を一次の有理素数，後者を二次の有理素数という．


　一次の有理素数たちは 8k±1 型であることが示される．

　二次の有理素数たちは 8k±3 型となる．

　有理素数 2 は同じ素数 √2 の二乗と同伴となる．このような場合，2 は分岐する有理素数と呼んだ．

　{Z(√2)} では 2 が唯一の分岐する有理素数となる．分類上は有理素数 2 は一次の有理素数となる．

　次の定理でこれを証明しておく．

　[定理 3-6-1]

  π を {Z(√2)} の任意の素数，f, g を有理整数として

　π = f + g√2, 
                                                                                        (3-6-1-1)
　p を 適当な有理素数として，

　Ｎ(π) = ππ' = f² - 2g² ≡ 0  ( mod p ) 
                                                                                        (3-6-1-2)
であることを前提として，

  (1) fg ≠ 0 かつ ( f, g ) = 1 ならば,

　|Ｎ(π)| = p, p は 8k±1 型の有理素数, π,π' は互いに同伴でない素数たち.
                                                                                        (3-6-2-1)
  (2) g = 0 かつ ( 2, p ) = 1 ならば,　

  |Ｎ(π)| = p², p は 8k±3 型の有理素数, π ∽ π' ∽ p
                                                                                        (3-6-2-2)
　(3) f = 0 かつ ( g, p ) = 1 ならば, 
 
  |Ｎ(π)| = p, p = 2, π ∽ π' ∽ √2 
                                                                                        (3-6-2-3)
となる．

　全ての有理素数たちはこれら 3 つの分類のいづれか一つしかも唯一つに含まれる．

　[証明]

  (1) fg ≠ 0　かつ　( f, g ) = 1　の場合

　Ｎ(π) = ππ' = f² - 2g² ≡ 0  ( mod p )
   　　
が成立しているならば,

　g は p を法とする乗法群上で零元でないゆえ逆元 g^-1 を持つ, 

　ゆえに,

　x ≡ fg^-1   ( mod p )

となるような剰余 x が存在して

　x² ≡ 2   ( mod p )

が同時に成立しなければならない．  

  このような有理素数 p は後に証明される定理 4-1 によって 8k±1 型のものとなる．

　さらに後に証明される定理 4-2 から, π, π' は {Z(√2)} のもはや互いに同伴でない素数たちとなる．

　ゆえにこの条件の下では

  ∴ |Ｎ(π)| = p, p は 8k±1 型の有理素数, π,π' は互いに同伴でない素数たち.
                                                                                        (3-6-2-1)
が真となる．

  (2) g = 0　かつ　( 2, p ) = 1　の場合　

　Ｎ(π) = ππ' = f² ≡ 0  ( mod p )
   　　
が成立しているならば,

　f ≡ 0   ( mod p ) 

  ∴ Ｎ(π) = ππ' = f² ≡ 0  ( mod p² ）  

　( 2, p ) = 1 から p は 2 ではない．ゆえに p は 3 以上の有理素数である．

　ところが 3 以上の有理素数は 8k±1 型 か 8k±3 型に限られる．

　ここでは (1) の場合に反しているゆえ ｐ はもはや 8k±1 型の有理素数を取り得ない．

　ゆえに p は 8k±3 型の有理素数である． 

　ゆえにこの条件の下では

  |Ｎ(π)| = p², p は 8k±3 型の有理素数, π ∽ π' ∽ p 
                                                                                        (3-6-2-2)
が真となる．

　(3) f = 0　かつ　( g, p ) = 1　の場合

  Ｎ(π) = ππ' = -2g² ≡ 0  ( mod p )

が成立しているならば, 

  ( g, p ) = 1 から,

　g = 1

  ゆえにこの条件の下では 

  |Ｎ(π)| = p, p = 2, π ∽ π' ∽ √2 
                                                                                        (3-6-2-3)
が真となる．

  なお, 

  全ての有理素数たちがこれら 3 つの分類のいづれか一つしかも唯一つに含まれる．

ことは証明するまでもなく真である．

（証明終り）　　　  


  この結果, 

  8k±1 型の有理素数は {Z(√2)} では合成数であって互いに同伴でない共役な二つの素数たちの積で合成される．

　8k±3 型の有理素数は {Z(√2)} でも素数である．

　2 は {Z(√2)} では合成数であって同じ素数 √2 の二乗で合成される．



§§４．判別式が２の素数ペル方程式．

§4-1. 2 を平方剰余に持つ素数 p の存在と概形．


　適当な素数 p の下で，  

　x² ≡ 2    ( mod p )
                                                                                          (4-1-1)
なる剰余 x が存在するとき，素数 p は 2 を平方剰余に持つという．

  この事実を記号上は

　(2/p) = 1

であらわす．

（ 2 を平方剰余に持たないときは，(2/p) = -1 と書く．この記号はヤコビの記号と呼ばれている．）

　このような素数 p が存在すれば, どんな概形を持つかを以下で考察しよう．


　次の定理が成り立つ．

　[定理 4-1]  

  2 を平方剰余に持つ素数の概形は 8k + 1 か 8k + 7 となる．

　[証明]

  2 を平方剰余に持つ素数を p とする．   

  p が 2 を平方剰余に持つとは, 

　x² ≡ 2  　( mod p )

となるような有理整数 x が存在することを意味する．

  一方 p が素数であることにより，フェルマーの小定理から，

　x^p-1 ≡ 1  　( mod p )

が成り立つ．  

　∴ (2/p) = 1   ⇒ 　2^(p-1)/2 ≡ 1   ( mod p )
                                                                                          (4-1-2)
  さてここで次の (p-1)/2 個の式たちを考える.

  　2 × 1      = 2,      

    2 × 2      = 4,

          ・・・

    2 × (p-3)/2 = p-3, 

  　2 × (p-1)/2 = p-1
                                                                                          (4-1-3)
  これらの右辺の数たちを p/2 を挟んで二組に分ける．

  すなわち，p/2 より大きい数たちで A 組を作り，p/2 より小さい数たちで B 組を作る． 

　A 組の数は m 個あって昇順に a₁, a₂, ... , a_m とし，B 組の数は μ 個あって昇順に b₁, b₂, ..., b_μ とする．

　(4-1-3) を辺々乗じて，

　2^(p-1)/2 × (p-1)/2! = a₁a₂ … a_mb₁b₂ … b_μ  ( m + μ = (p-1)/2 )
                                                                                          (4-1-4)
  さらにここで，

　p - a₁, p - a₂, ... , p - a_m

なる数たちを考える．

  このとき Α 組の数たちは p/2 より大であったから,

　p - a₁, p - a₂, ... , p - a_m ＜ p/2

となる．

  いま仮に A の任意の要素を a_i, B の任意の要素を b_j とし,

  適当な (p-1)/2 以下の剰余たち r_i, r_j が存在して， 

　a_i = 2r_i, b_j = 2r_j

であったとする．

　そうすると仮に，

　p - a_i ≡ b_j   ( mod p )

であったならば，

　2( r_i +  r_j ) ≡ 0   ( mod p )

でなければならないが，

　r_i, r_j ≦ (p-1)/2   

から，

　r_i +  r_j ＜ p

　p は素数であるから，自分より小さな数を割り切らず，またここでは p ≠ 2 も明らか．

　∴  p - a_i ≠ b_j

  こうして，

　p - a₁, p - a₂, ... , p - a_m, b₁, b₂, ... b_μ    ( m + μ = (p-1)/2 )

たちは，

　1, 2, ... , (p-3)/2, (p-1)/2

たちで丁度尽くされていることが分る．

  ∴ ( p - a₁ )( p - a₂ ) … ( p - a_m )b₁b₂ … b_μ = ((p-1)/2)!
                                                                                          (4-1-5)
  (4-1-4),(4-1-5) から，

　2^(p-1)/2 × ( p - a₁ )( p - a₂ ) … ( p - a_m )b₁b₂ … b_n  = a₁a₂ … a_mb₁b₂ … b_μ

　∴ (2/p) = 1   ⇒   2^(p-1)/2 × (-1)^m ≡ 1   ( mod p )
                                                                                          (4-1-6)
　ところが (4-1-2) から,

　   (2/p) = 1   ⇒   2^(p-1)/2 ≡ 1   ( mod p )　

　∴ (2/p) = 1   ⇒   (-1)^m ≡ 1   ( mod p )

  これは，p が 2 を平方剰余に持つ場合は A 組の個数 m が偶数であることを示している．

  またこの逆も成り立つ．

　∴ (2/p) = (-1)^m
                                                                                          (4-1-7)
  さて B 組の数たちは 2 から昇順に p/2 の直前までの μ 個の偶数たちで尽くされている．

  ゆえに B 組の数たちは自分の番号の 2 倍で B 組の最大数 b_μ は p/2 の直前の偶数である．

　∴ b_i = 2i   ( i = 1,2,…,μ ),  

    ( b_μ = 2μ = (p-1)/2 ) または ( b_μ = 2μ = (p-3)/2 )

  (1.1) p = 4k + 1 のとき

　　 2μ = (p-1)/2

  ∴ m = (p-1)/2 - μ = (p-1)/2 - (p-1)/4 = (p-1)/4

  ∴ (p-2)/4 ＜ m ＜ (p+2)/4

  (1.2) p = 4k + 3 のとき，

　　2μ = (p-3)/2

  ∴ m = (p-1)/2 - μ = (p-1)/2 - (p-3)/4 = (p+1)/4

  ∴ (p-2)/4 ＜ m ＜ (p+2)/4

  ゆえに，(1.1),(1.2) のいずれにせよ

　　(p-2)/4 ＜ m ＜ (p+2)/4
                                                                                          (4-1-8)
　すなわち，(p+2)/4 に下側で最も近い整数を [(p+2)/4] としてその偶奇を調べればよい．

　素数たちを 8 の倍数に基づいて種類分けして調べる．

　(2.1) p = 8k + 1 のとき，

　[(p+2)/4] = [(8k+3)/4] = 2k
                                                                                        (4-1-9-1)
  ゆえに，p が 8k + 1 型の素数のとき 2 を平方剰余に持つ．

　(2.2) p = 8k + 3 のとき，

　[(p+2)/4] = [(8k+5)/4] = 2k + 1
                                                                                        (4-1-9-2)
  ゆえに，p が 8k + 3 型の素数のとき 2 を平方剰余に持たない．

　(2.3) p = 8k + 5 のとき，

  [(p+2)/4] = [(8k+7)/4] = 2k + 1
                                                                                        (4-1-9-3)
  ゆえに，p が 8k + 5 型の素数のとき 2 を平方剰余に持たない．

　(2.4) p = 8k + 7 のとき，

  [(p+2)/4] = [(8k+9)/4] = 2k + 2
                                                                                        (4-1-9-4)
  ゆえに，p が 8k + 7 型の素数のとき 2 を平方剰余に持つ．

　これらを，まとめて記号上は，

　(2/p) = (-1)^(p²-1)/8
                                                                                         (4-1-10)
と書いても良い．

（証明終り）


　この証明ではガウスが平方剰余の相互法則を証明するのに用いた原理を応用している．

　平方剰余の相互法則とは p, q を異なる二つの奇素数とすれば,

　(q/p)(p/q) = (-1)^{((p-1)/2)((q-1)/2)}

となることを云う．

　この結果

　(1) p, q の少なくともどちらか一方が 4k+1 型の素数であれば

　( (q/p) = 1　かつ　(p/q) = 1 )  または　( (q/p) = -1　かつ　(p/q) = -1 )

となる．

　すなわち,

　x² ≡ q  ( mod p ) と x² ≡ p  ( mod q )

のどちらもが解けるか, または, どちらもが解けないかである．

　(2) p, q のどちらもが 4k+3 型の素数であれば

　( (q/p) = 1　かつ　(p/q) = -1 )  または　( (q/p) = -1　かつ　(p/q) = 1 )

となる．

　すなわち,

　x² ≡ q  ( mod p ) と x² ≡ p  ( mod q )

のどちらか一方だけが解ける．

  参考のため証明の粗筋だけを簡単に述べておく．

　p, q を異なる奇素数とする．( 予め p ＞ q であったとして以下の議論を行なう．)

 (1) q × 1, q × 2, …, q × (p-1)/2

を p で割った (p-1)/2 個の剰余たちのうち p/2 を越える個数を m とする． 

  このとき定理 4-1 の証明の有理素数 2 を q と置き換え, 同様な論法を用いることにより

  4-1-1 から 4-1-7 までと類似したことが同様に成り立つ．ゆえに,

  (q/p) = (-1)^m

が成り立つ．

 (2) p × 1, p × 2, …, p × (q-1)/2

を q で割った (q-1)/2 個の剰余たちのうち q/2 を越える個数を n とする．

　このとき (1) と同様な論法により 

  (p/q) = (-1)ⁿ

が成り立つ．

 (3) ( 以下の議論で任意の有理数を v としたとき, v 以下で v に最も近い整数を [v] であらわす．) 

  (1) で (p-1)/2 個の剰余たちは次ぎの関係を満たす．

  新たに整数 M を

  M = [1q/p] + [2q/p] + … + [(p-1)q/(2p)]

であると定義する．この M は (1) の方法での商の合計をあらわすと考えてよい． 

  q( p² - 1 )/8 = Mp + A + B

  ( p² - 1 )/8 = mp - A + B

  上の二式を差し引いて 2 を法として整理すれば,

　m ≡ M   ( mod 2 )

  また 

  (p-1)q/(2p) = (q-1)/2 + (p-q)/(2p)  ( p ＞ q ) 

から

  [(p-1)q/(2p)] = (q-1)/2

が成り立つ．

  すなわち (1) の方法で商たちは 0 から始まって (q-1)/2 で終わっている．

  これらの商の任意のものを s とすると, 適当な剰余 t が存在して．

　s ＜ qt/p ＜ s + 1,   ( 1 ≦ t ≦ (p-1)/2 ), ( 0 ≦ s ≦ (q-1)/2 )

と成るはずである．

  ∴ sp/q ＜ t ＜ (s+1)p/q

　ここから同じ商 s は ( [(s+1)p/q] - [sp/q] ) 回連続して起こっていることが分る．

  M は (1) の方法での商たちの合計であったから,

　∴ M = 0[1p/q] + 1([2p/q] - [1p/q]) + 2([3p/q] - [2p/q]) + … + (q-1)/2((p-1)/2 - [(q-1)p/(2q)])

  ∴ M = - [1p/q] - [2p/q] - [3p/q] - … - [(q-1)p/(2q)] + ((p-1)/2)((q-1)/2)

  ここで

  N = [1p/q] + [2p/q] + [3p/q] + … + [(q-1)p/(2q)]

と定義すれば

　M + N = ((p-1)/2)((q-1)/2)

　また m ≡ M ( mod 2 ) を導いたのと同様な論法により

　 n ≡ N   ( mod 2 )

が成り立つ．

 (4) (1),(2),(3) から

  (q/p)(p/q) = (-1)^m(-1)ⁿ = (-1)^M+N = (-1)^{((p-1)/2)((q-1)/2)}   //


（ 上のような議論でヤコビの記号の合理性が暗示されている．

  偶数 ＋ 偶数 ＝ 偶数, 奇数 ＋ 奇数 ＝ 偶数, 偶数 ＋ 奇数 ＝ 奇数, 奇数 ＋ 偶数 ＝ 奇数

と

　1 × 1 = 1, -1 × -1 = 1, 1 × -1 = -1, -1 × 1 = -1 

を言語の双対であると見なすと,

　＋ は × に偶数は 1 に奇数は -1 に対応していることが分る．

　すなわち両者は仕組み(構造)的には同であるといえる．

  X を 奇数と偶数を要素たちとする 2 位の加法群, Y を -1 と 1 を要素たちとする 2 位の乗法群とすれば

　Y = (-1)^X

は X から Y への群同型な写像となっている．）


  [定理 4-2]

  8k±1 型の有理素数 p は 0 ＜ 2G_u ＜ F_u となるようなただ一組の有理整数（ F_u, G_u ）と

　0 ＜ F_v ＜ G_v となるようなただ一組の有理整数 ( F_v, G_v ) によって，

　F_u² - 2G_u² = p
                                                                                       (4-1-11-1)
　F_v² - 2G_v² = -p
                                                                                       (4-1-11-2)
とできる．

  さらに，

  φ ∽ F_u + G_u√2,　φ' ∽ F_u - G_u√2
                                                                                       (4-1-11-3)
とすれば，

　p ∽ φφ'
                                                                                       (4-1-11-4)
は {Z(√2)} での唯一の素因数数分解となる．

　同時にまた，

　φ ∽ F_u + G_u√2 ∽ F_v - G_v√2,  φ' ∽ F_u - G_u√2 ∽ F_v + G_v√2,
                                                                                       (4-1-11-5)
  ( F_u + G_u√2 )( F_v + G_v√2 ) = ( 1 + √2 )p   ( ∽ p )
                                                                                       (4-1-11-6)
も成立する．

　[証明]

  (1) 8k±1 型の最小の有理素数 7 について，

　3² - 2×1² = 7,  1² - 2×2² = -7,
                                                                                       (4-1-12-1)
から，

  ( F_u, G_u ) = ( 3, 1 ),  ( F_v, G_v ) = ( 1, 2 )
                                                                                       (4-1-12-2)
となり定理は有理素数 7 の場合には満たされている．

　(2) 8k±1 型の有理素数で 7 を越えるものたちのうち {Ｎ([2)} の素因数分解が分っていないものを昇順に

選んで p とし以下のようにして素因数分解を得る．

  8k±1 型の有理素数 p は 定理 4-1 で証明したように 2 を平方剰余に持つ．

　すなわち，適当な正で奇数の剰余を x，商を q として，

   x² - 2 = qp,  1 ≦ x ≦ p-1
                                                                                       (4-1-13-1)
とできる．( x を奇数にとるのは右辺で有理素数 2 を除くためである．しかも必ず存在する．

  なぜなら仮に x が偶数であって x² - 2 = qp であったならば x' = p - x は奇数となり, 

  しかも x'² - 2 = q'p が成り立つから．) 

　ここで {Z(√2)} の共役な整数たちを σ, σ' として，

　σ = x + √2，σ' = x - √2
                                                                                       (4-1-13-2)
として良い．

　さらに，x が p-1 以下の正の有理整数であることから，商 q は，

　1 ≦ q ＜ p-2
                                                                                       (4-1-13-3)
の範囲にあるので，q は p より小さい有理素数たちで出来ている．

  q を割り切る異なる有理素数たちが s 個あってそれぞれ q₁, q₂, … , q_s であったとする．

  このとき，q₁, q₂, … q_s のどれに対しても，

  x² - 2 ≡ 0   ( mod q_t ),  ( t = 1, 2, … , s )
                                                                                       (4-1-13-4)
が成り立っている．

  ゆえに q_t たちがまた全て 8k±1 型の有理素数でなければならない．        

　そこで p より小なる q_t たちについては，

　適当な {Z(√2)} の共役な素数たちを π₁, π₁', π₂, π₂', … , π_s, π_s' として，

　q_t = π_tπ_t'  ( t = 1, 2, … , s )
                                                                                       (4-1-13-5)
と分解できることが既に分っているものと仮定して良い．

  素元分解の一意性から，

　σσ' = x² - 2 = qp = q₁^a1q₂^a2 … q_s^asp = π₁^a1π₁'^a1π₂^a2π₂'^a2 … π_s^asπ_s'^asp
                                                                                       (4-1-13-6)
となる．

　σ は π_t^at か π_t'^at のどちらか一方だけで割り切れる．割り切れる方を π_t^at であったことにする．

  ( σ の実部は x で虚部は 1 である．∴ (x,1) = 1, よって定理 3-2-3 から ππ'|σ ⇒ π は単数となる．）

　さらに新たに φ を {Z(√2)} の整数, ω を単数として，

　φ = ωσ/(π₁^a1π₂^a2 … π_s^as)
                                                                                       (4-1-13-7)
とする．

　これに応じて，　

　φ' = ω'σ'/(π₁'^a1π₂'^a2 … π_s'^as)
                                                                                      (4-1-13-7')
となる．

　このとき，さらに適当な有理整数 f, g たちによって，

　φ = f + g√2
                                                                                       (4-1-13-8)
として良い．

  ∴ φφ' = σσ'/(π₁^a1π₁'^a1π₂^a2π₂'^a2 … π_s^asπ_s'^as)

           = ( x² - 2 )/( q₁^a1q₂^a2 … q_s^as ) = p

  ∴ f² - 2g² = p
                                                                                       (4-1-13-9)
となる．

　これはまた，

  f₀ = |f| ＞ 0, g₀ = |g| ＞ 0
                                                                                       (4-1-14-1)
として，

　f₀² - 2g₀² = p                                                               
                                                                                       (4-1-14-2)
と考えても良い．

　p は 8k±1 型の有理素数であることから，

　f₀ ≠ g₀
                                                                                       (4-1-14-3)
となる．

　ここで，

  f₀ ＞ 2g₀  または  f₀ ＜ g₀
                                                                                       (4-1-14-4)
であればここで良しとする．

　そうでなければ，

　f_t + g_t√2 = ( f₀ + g₀√2 )( -1 + √2 )^t,  ( t = 1, 2, … )
                                                                                       (4-1-14-5)
とすると，定理 1-3-2 を適当な回数だけ繰り返し応用することによって,

  0 ＜ g_t-1 ＜ f_t-1 ＜ 2g_t-1

  ⇒  f₀ ＞ f₁ ＞ … f_t-1 ＞ f_t ＞ 0,  g₀ ＞ g₁ ＞ … g_t-1 ＞ g_t ＞ 0
                                                                                       (4-1-14-6)
となるような有限の f₀ または g₀ で始まるような自然数の降下数列たちが得られる．

  しかし，これは無限回は続かない．

　よって適当な t+1 = n に至って，

　f_n ＞ 2g_n   または  f_n ＜ g_n                                                  
                                                                                       (4-1-15-1)
となるところが得られる．

  このとき，

　f_n + g_n√2 = ( f₀ + g₀√2 )( -1 + √2 )ⁿ
                                                                                       (4-1-15-2)
  f_n² - 2g_n² = (-1)ⁿ( f₀² - 2g₀² ) = (-1)ⁿp
                                                                                       (4-1-15-3)
  f_n ＞ 2g_n   ⇒   f_n² - 2g_n² = p ＞ 0
                                                                                       (4-1-15-4)
  f_n ＜ g_n    ⇒　 f_n² - 2g_n² = -p ＜ 0
                                                                                       (4-1-15-5)
となっている．

  そこで，

　(1) f_n ＞ 2g_n   ⇒   ( F_u, G_u ) = ( f_n, g_n )
                                                                                       (4-1-16-1)
  (2) f_n ＜ g_n    ⇒   ( F_v, G_v ) = ( f_n, g_n )                                  
                                                                                       (4-1-16-2)
とする．

  ここで ( F_u, G_u ) と ( F_v, G_v ) の間には次の公式が成り立つ．

 -F_v + G_v√2 = ( F_u + G_u√2 )( -1 + √2 )
                                                                                       (4-1-17-1)
  = -( F_u - 2G_u ) + ( F_u - G_u )√2,
                                                                                       (4-1-17-2)
  F_u - G_u√2 = ( F_v + G_v√2 )( -1 + √2 )
                                                                                       (4-1-17-3)
  = ( -F_v + 2G_v ) - ( -F_v + G_v )√2,
                                                                                       (4-1-17-4)
　さらに記号の上では先述の φ, φ' たちを，　

　φ ∽ F_u + G_u√2,　φ' ∽ F_u - G_u√2
                                                                                       (4-1-11-3)
であったとしても差し支えない．

　すると 定理 3-5-5 から 2 以外の一つの有理素数 p が二つの単数でない φ, φ' で割り切れる場合は，

　{Z(√2)} の唯一組の互いに共役な二個の素数たちとなるので，

　p ∽ φφ'
                                                                                       (4-1-11-4)
は {Z(√2)} での唯一の素因数分解になっていると考えて良い．

　また 4-1-17-1, 4-1-17-3 から，

　φ ∽ F_u + G_u√2 ∽ F_v - G_v√2,  φ' ∽ F_u - G_u√2 ∽ F_v + G_v√2,
                                                                                       (4-1-11-5)
  ( F_u + G_u√2 )( F_v + G_v√2 ) = ( 1 + √2 )p   ( ∽ p )
                                                                                       (4-1-11-6)
であることも分る．

  この後，まだ素因数分解の分っていない 8k±1 型の有理素数を昇順に選んで p とし (2) の冒頭に戻る．

　こうして定理は全ての 8k±1 型の有理素数たちについて真であることが示される．

 （証明終り）


§4-2. 素数ペル方程式の最小整数解．

  p ∈ { 素数|8k±1 },

  f,g ∈ {Z⁺},

　f² - 2g² = ±p
                                                                                          (4-2-1)
なる方程式を考えてみよう．

　最小条件として，

　F ＞ 2G 

を仮定してみる．

　このとき，

　F' + G'√2 = ( F + G√2 )(-1+√2) = -( F - 2G ) + ( F - G )√2

  ∴ F' ＜ 0, G' ＞ 0, |F'| ＜ |G'|

となる．

 そこで，

  F_u = F, G_u = G, F_v = |F'|, G_v = G'

とすれば，

　F_u ＞ 2G_u ＞ 0
                                                                                      (4-2-2-1-1)
  0 ＜ F_v ＜ G_v
                                                                                      (4-2-2-1-2)
  F_v = F_u - 2G_u
                                                                                      (4-2-3-2-1)
  G_v = F_u - G_u
                                                                                      (4-2-3-2-2)
  F_u = -F_v + 2G_v
                                                                                      (4-2-3-3-1)
  G_u = -F_v + G_v
                                                                                      (4-2-3-3-2)
などとなる．

　結局，F_u ＞ 2G_u という最小条件と F_v ＜ G_v という最小条件は一組になっていて，

　しかも，

　( F_u + G_u√2 )/( -F_v + G_v√2 ) = ( F_v + G_v√2 )/( F_u - G_u√2 ) = 1 + √2
                                                                                      (4-2-3-4-1)
  ( F_u - G_u√2 )/( -F_v - G_v√2 ) = ( F_v - G_v√2 )/( F_u + G_u√2 ) = 1 - √2
                                                                                      (4-2-3-4-2)
  ( -F_u - G_u√2 )/( -F_v + G_v√2 ) = ( -F_v - G_v√2 )/( F_u - G_u√2 ) = -1 - √2
                                                                                      (4-2-3-4-3)
  ( -F_u + G_u√2 )/( -F_v - G_v√2 ) = ( -F_v + G_v√2 )/( F_u + G_u√2 ) = -1 + √2
                                                                                      (4-2-3-4-4)
は共役な最小単数たちとなる．   　　　　　　　　　　　　

　また,

  F_u² - 2G_u² = p  ⇒  ( F_u + G_u√2 )( F_u - G_u√2 ) = p ＞ 0
                                                                                      (4-2-3-5-1)
であることから，

  0 ＜ F_u - G_u√2 ＜ √p ＜ F_u + G_u√2
                                                                                      (4-2-3-5-2)
  ∴ F_u - F_u(√2/2) ＜ F_u - G_u√2 ＜ √p ＜ F_u + G_u√2 ＜ F_u + F_u(√2/2)
        
     ( ∵ 2G_u ＜ F_u  ⇒  G_u√2 ＜ F_u(√2/2) )
 
  ∴ (( 2 - √2 )/2)F_u ＜ √p ＜ (( 2 + √2 )/2)F_u

  ∴　( 2 - √2 )√p ＜ F_u ＜ ( 2 + √2 )√p
                                                                                      (4-2-3-5-3)
  ここで，√2 ≈ 3/2 とすると，

　(1/2)√p ＜ F_u ＜ (7/2)√p,  G_u ＜ F_u/2
                                                                                      (4-2-3-5-4)
  また，

　2G_u ＜ F_u  ⇒  4G_u² ＜ F_u²  ⇒  2G_u² ＜ F_u² - 2G_u²  ⇒  2G_u² ＜ p  

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇒  G_u ＜ √(p/2)
                                                                                      (4-2-3-5-5)
  F_u² = p + 2G_u²  ⇒  F_u² ＜ 2p  ⇒  F_u ＜ √(2p)
                                                                                      (4-2-3-5-6)
  (4-2-3-5-4), (4-2-3-5-5), (4-2-3-5-6) をあわせて，

  √(p/4) ＜ F_u ＜ √(2p),  G_u ＜ √(p/2),  F_uG_u ＜ p
                                                                                      (4-2-3-5-7)
などとして検索すれば，有限回で ( F_u, G_u ) に達する．

　同様に,

  F_v² - 2G_v² = -p　⇒  ( √2G_v + F_v )( √2G_v - F_v ) = p ＞ 0
                                                                                      (4-2-3-6-1)
 　
  0 ＜ √2G_v - F_v ＜ √p ＜ √2G_v + F_v
                                                                                      (4-2-3-6-2)
  ∴ √2G_v - G_v ＜ √2G_v - F_v ＜ √p ＜ √2G_v + F_v ＜ √2G_v + G_v

  ∴ ( √2 - 1 )G_v ＜ √p ＜ ( √2 + 1 )G_v

  ∴ ( √2 - 1 )√p ＜ G_v ＜ ( √2 + 1 )√p
                                                                                      (4-2-3-6-3)
  ∴ ((√2)/4)√p ＜ G_v ＜ (5/2)√p, F_v ＜ G_v                                      
                                                                                      (4-2-3-6-4)
  また，

　√2F_v ＜ √2G_v  ⇒  2F_v² ＜ 2G_v²  ⇒  F_v² ＜ 2G_v² - F_v²  ⇒  F_v ＜√p
                                                                                      (4-2-3-6-5)
  2G_v² = p + F_v²  ⇒  2G_v² ＜ 2p  ⇒  G_v ＜ √p
                                                                                      (4-2-3-6-6)
  (4-2-3-6-4), (4-2-3-6-5), (4-2-3-6-6) をあわせて，

　√(p/8) ＜ G_v ＜ √p,  F_v ＜ G_v,  F_vG_v ＜ p
                                                                                      (4-2-3-6-7)
などとして検索すれば, 有限回で ( F_v, G_v ) に達する．


§4-3. 第一最小条件, 第二最小条件, 共役最小条件．標準第一素数, 標準第二素数, 標準共役素数．
 
　標準第一短系列，標準第二短系列，標準第一長系列，標準第二長系列．


　この章で述べたことをこの節でまとめておく．

  8k±1 型の有理素数を p として，

  F_u² - 2G_u² = p,  F_u ＞ 2G_u ＞ 0, 
  
　( F_u + G_u√2 )( F_u - G_u√2 ) = p
                                                                                        (4-3-1-1)
　F_v² - 2G_v² = -p,  0 ＜ F_v ＜ G_v　


  ( F_v + G_v√2 )( F_v - G_v√2 ) = -p,
                                                                                        (4-3-1-2)
  　( F_u + G_u√2 )( -1 + √2 ) = -F_v + G_v√2, 


　F_v = F_u - 2G_u, G_v = F_u - G_u,
                                                                                        (4-3-2-1)
　( F_v + G_v√2)( -1 + √2 ) = F_u - G_u√2,


　F_u = 2G_v - F_v, G_u = G_v - F_v
                                                                                        (4-3-2-2)
　( F_u + G_u√2 )( F_v + G_v√2 ) = ( 1 + √2 )p
                                                                                          (4-3-3)
などの関係が成り立っていた．

　これに基づいて，

　F_u ＞ 2G_u ＞ 0 を第一最小条件．
                         
　0 ＜ F_v ＜ G_v を第二最小条件．

　両者を併せて共役最小条件と名づける．

　F_u + G_u√2 を標準第一素数．

　F_v + G_v√2 を標準第二素数．

　両者を併せて標準共役素数と名づける．

　これ以降は特に断らない限り,　標準第一素数を単に第一素数，標準第二素数を単に第二素数と呼んで良いとする．

　さて, ここで,

　f_u(n) + g_u(n)√2 = ( F_u + G_u√2 )( 1 + √2 )ⁿ　( n = 0, 1, 2, … ) 
                                                                                      (4-3-4-1-1)
なる系列を取り,

  ( f_u(n), g_u(n) ) を標準第一短系列と名づける．

　ここでは初期値の甲型第一因数は標準第一素数となる．

  さらに，

　f_u(n)² - 2g_u(n)² = (-1)ⁿp, 0 ＜ g_u(n) ＜ f_u(n) ＜ 2g_u(n)  ( n ＞ 0 ) 
                                                                                      (4-3-4-1-2)
  f_u(n+1) = f_u(n) + 2g_u(n), g_u(n+1) = f_u(n) + g_u(n)
                                                                                      (4-3-4-1-3)
  f_u(n+2) = 2f_u(n+1) + f_u(n), g_u(n+2) = 2g_u(n+1) + g_u(n)
                                                                                      (4-3-4-1-4)
などの関係がある．

　同様に,

　f_v(n) + g_v(n)√2 = ( F_v + G_v√2 )( 1 + √2 )ⁿ　( n = 0, 1, 2, … ) 
                                                                                      (4-3-4-2-1)
なる系列を取り,

　( f_v(n), g_v(n) ) を標準第二短系列と名づける．

　ここでは初期値の甲型第一因数は標準第ニ素数となる．

  さらに，

　f_v(n)² - 2g_v(n)² = (-1)⁽ⁿ⁺¹⁾p, 0 ＜ g_v(n) ＜ f_v(n) ＜ 2g_v(n) ( n ＞ 0 ) 
                                                                                      (4-3-4-2-2)
  f_v(n+1) = f_v(n) + 2g_v(n), g_v(n+1) = f_v(n) + g_v(n)
                                                                                      (4-3-4-2-3)
  f_v(n+2) = 2f_v(n+1) + f_v(n), g_v(n+2) = 2g_v(n+1) + g_v(n)
                                                                                      (4-3-4-2-4)
などの関係がある．

　一方, これとは別に，

　f² - 2g² = p, ( f ＞ 0 )
                                                                                      (4-3-5-1-1)
なる 正 f 軸側素数ペル方程式の解たちは，

　f_U(n) + g_U(n)√2 = ( F_u + G_u√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ  ( n = … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … )
                                                                                      (4-3-5-1-2)
によって,

　n ≧ 0　ならば　甲型第一因数で, 

　n ＜ 0  ならば  甲型第二因数で,

丁度尽くされる．

　( f_U(n), |g_U(n)| ) を標準第一長系列と名づける．   

　ここでは初期値の甲型第一因数は標準第一素数となる．

　さらに，

  f_U(n+1) = 3f_U(n) + 2g_U(n), g_U(n+1) = f_U(n) + 3g_U(n),
                                                                                      (4-3-5-1-3)
  f_U(n+2) = 6f_U(n+1) - f_U(n), g_U(n+1) = 6g_U(n+1) - g_U(n),
                                                                                      (4-3-5-1-4)
　( f_U(n), g_U(n) ) = ( f_u(2n), g_u(2n) )      ( n ≧ 0 )
                                                                                      (4-3-5-1-5)
  ( f_U(n), -g_U(n) ) = ( f_v(-2n-1), g_v(-2n-1) )      ( n ＜ 0 )  
                                                                                      (4-3-5-1-6)
なる関係がある． 

　同様に，

　f² - 2g² = -p, ( g ＞ 0 )
                                                                                      (4-3-5-2-1)
なる 正 g 軸側素数ペル方程式の解たちは，

　f_V(n) + g_V(n)√2 = ( F_v + G_v√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ  ( n = … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … )
                                                                                      (4-3-5-2-2)
によって 

  n ≧ 0  ならば  甲型第一因数で, 

  n ＜ 0  ならば  乙型第二因数で,

丁度尽くされる．

　( |f_V(n)|, g_V(n) ) を標準第二長系列と名づける．

　ここでは初期値の甲型第一因数は標準第二素数となる．

　さらに，

　f_V(n+1) = 3f_V(n) + 2g_V(n), g_V(n+1) = f_V(n) + 3g_V(n),
                                                                                      (4-3-5-2-3)
  f_V(n+2) = 6f_V(n+1) - f_V(n), g_V(n+2) = 6g_V(n+1) - g_V(n)
                                                                                      (4-3-5-2-4)
　( f_V(n), g_V(n) ) = ( f_v(2n), g_v(2n) )      ( n ≧ 0 )
                                                                                      (4-3-5-2-5)
  ( -f_V(n), g_V(n) ) = ( f_u(-2n-1), g_u(-2n-1) )      ( n ＜ 0 )  
                                                                                      (4-3-5-2-6)
なる関係がある． 

　すなわち, f, g を有理整数, p を 8k±1 型の任意の素数として,

　f² - 2g² = ±p, ( f ＞ 0, g ＞ 0 )  

なる素数ペル方程式を満たす全ての第一象限内の有理整数座標 ( f, g ), 

　言い換えれば, 与式を満たす全ての甲型第一因数たちは, 　

　標準第一短系列と標準第二短系列を併せた座標たちで漏れなく重複なく丁度尽くされる． 

　または, 

　標準第一長系列と標準第二長系列を併せた座標たちで漏れなく重複なく丁度尽くされる．

　なお,

　標準第一短系列と標準第一長系列の初期値から得られる甲型第一因数は両者とも標準第一素数となる．

　同様に,

　標準第ニ短系列と標準第ニ長系列の初期値から得られる甲型第一因数は両者とも標準第二素数となる．

                                                                                      (2006/8/10)

 §§５．判別式が２の合成数ペル方程式と最小解の存在個数．


  合成数ペル方程式の特徴は組み合わせの通り数が複数組( 後に示されるように 2^n-1 組 ) となる

ことを除けば素数ペル方程式の場合と全く同様であると考えて良い．


 §5-1. 合成数ペル方程式．

  本章で考察する合成数ペル方程式を

  f, g, P ∈ {Z}, p₁, p₂, …, p_n ∈ { 8k±1 型の有理素数 },

  a₁, a₂, …, a_n ∈ {Z⁺}, 

  ( π₁, π₁' ), ( π₂, π₂' ), …, ( π_n, π_n') ∈ {{Z(√2)} の共役な ( 第一素数, 第二素数 )}

  ( ( n = 1, a₁ ＞ 1 ) または ( n ＞ 1 ) )

を前提として,
 
　f² - 2g² = ±P, ( f, g ) = 1,  
                                                                                          (5-1-1)
  p_s = π_sπ_s'    ( s = 1, 2, …, n ), 
                                                                                          (5-1-2)
  P = p₁^a1p₂^a2 … p_n^an,
                                                                                          (5-1-3)
と定義する．


 §5-2. 共役分解とその個数．

  さて, 前節の定義を前提として, さらに,

　σ, σ' を {Z(√2)} の共役な整数,  f, g ∈ {Z} として

　σ = f + g√2,  ( f, g ) = 1,
                                                                                        (5-2-1-1)
  σσ' = P  
                                                                                        (5-2-1-2)
となるような共役な整数 σ, σ' への分解を考えよう．

  以後このような ( σ, σ' ) への分解を共役分解と呼ぼう．

　次の定理が成り立つ．

　[定理 5-2-1]

  P を割り切る異なる 8k±1 型の有理素数の個数が n 個であれば, 異なる共役分解は 2^n-1 組ある．

　[証明]

  合成数ペル方程式の定義の内, ここで必要となる部分を再掲する．( 便宜のため一部で意味を重複させた. )

　f² - 2g² = ±P, σ = f + g√2,  ( f, g ) = 1
                                                                                        (5-2-2-1)
  p_s = π_sπ_s'   ( s = 1, 2, …, n ),
                                                                                        (5-2-2-2)
  P = p₁^a1p₂^a2 … p_n^an,
                                                                                        (5-2-2-3)
    = π₁^a1π₁'^a1π₂^a2π₂'^a2 … π_n^anπ_n'^an,
                                                                                        (5-2-2-4)
  これらを前提として, 定理 3-2-3 から,

  ( f, g ) = 1   ⇒   π_sπ_s'¬|σ   ( s = 1, 2, …, n )
                                                                                        (5-2-2-5)
  ( すなわち f, g が互いに素であれば, もはや σ は共役素数の積で整除されることはない．)

　ゆえに, σ の概形は

　σ = π₁^*^a1π₂^*^a2 … π_n^*^an
                                                                                        (5-2-2-6)
であると考えられる．( ここで * は第一素数か第二素数かのどちらか一方の素数であることを意味している．)

　よって, σ の異なる組み合わせは 2ⁿ 通りであるが,

　( σ, σ' ) を一組として考えれば, 共役分解の組合わせの通り数は 2ⁿ の 1/2 となる． 

　ゆえに異なる共役分解は 2^n-1 組となる．

　(証明終り)


 §5-3. 最小整数解とその個数．

　結局, このような異なる共役分解 ( σ, σ' ) たちは,

　( σ_t, σ_t' )     ( t = 1, 2, …, 2^n-1 )
                                                                                        (5-3-1-1)
と書くことができる．

　しかもここでは, σ_t を甲型第一因数, σ_t' を甲型第二因数に取ったと仮定する．

　{Z(√2)} の素元分解の一意性から, ω を単数として,

　1 ≦ i ≦ 2^n-1, 1 ≦ j ≦ 2^n-1, i ≠ j,
                                                                                        (5-3-1-2)
  ならば,

  σ_i ≠ ωσ_j
                                                                                        (5-3-1-3)
となる．

　従って 5-3-1-1 のどの組み合わせたちにも定理 1-3-1, 定理 1-3-2 が同様に成立する．

　定理 1-3-2 を適当な回数だけ繰り返すことで素数ペル方程式の場合と同様に

　F_ut ＞ 2G_ut ＞ 0, G_vt ＞ F_vt ＞ 0,
                                                                                        (5-3-2-1)
  ( F_ut + G_ut√2 )( -1 + √2 ) = - F_vt + G_vt√2,
                                                                                        (5-3-2-2)
  ( F_vt + G_vt√2 )( -1 + √2 ) = F_ut - G_ut√2,
                                                                                        (5-3-2-3)
  ( F_ut + G_ut√2 )( F_vt + G_vt√2 ) = (1+√2)P
                                                                                        (5-3-2-4)
                                                    ( t = 1, 2, …, 2^n-1 )          
が成立すると考えてよい．

　F_ut + G_ut√2 を標準第一最小整数解, あるいは単に第一最小整数解と呼ぼう．

　F_vt + G_vt√2 を標準第ニ最小整数解, あるいは単に第ニ最小整数解と呼ぼう．

　また両者を併せて標準共役最小整数解, あるいは単に共役最小整数解と呼ぼう．

　結局, 共役最小整数解たちは 2^n-1 組だけ存在する．


 §5-4. 標準短系列, 標準長系列．

　合成数ペル方程式の場合も素数ペル方程式の場合とほぼ同様のことが成り立つ．

　以下, それらを手短にまとめておこう．

　(1-1) 標準第一短系列

　f_ut(m) + g_ut(m)√2 = ( F_ut + G_ut√2 )( 1 + √2 )^m, 
                                                                                      (5-4-1-1-1)
　( f_ut(m), g_ut(m) )
                                                                                      (5-4-1-1-2)
                              ( t = 1, 2, …, 2^n-1 ), ( m = 0, 1, 2, … )
  (1-2) 標準第二短系列

　f_vt(m) + g_vt(m)√2 = ( F_vt + G_vt√2 )( 1 + √2 )^m, 
                                                                                      (5-4-1-2-1)
　( f_vt(m), g_vt(m) )
                                                                                      (5-4-1-2-2)
                              ( t = 1, 2, …, 2^n-1 ), ( m = 0, 1, 2, … )
　(2-1) 標準第一長系列

　f_Ut(m) + g_Ut(m)√2 = ( F_ut + G_ut√2 )( 3 + 2√2 )^m, 
                                                                                      (5-4-2-1-1)
　( f_Ut(m), |g_Ut(m)| )
                                                                                      (5-4-2-1-2)
  ( f_Ut(m), g_Ut(m) ) = ( f_ut(2m), g_ut(2m) )      ( m ≧ 0 )
                                                                                    (5-4-2-1-3-1)
  ( f_Ut(m), -g_Ut(m) ) = ( f_vt(-2m-1), g_vt(-2m-1) )      ( m ＜ 0 )  
                                                                                    (5-4-2-1-3-2)
                              ( t = 1, 2, …, 2^n-1 ), ( m = …, -2, -1, 0, 1, 2, … )
  (2-2) 標準第二長系列

  f_Vt(m) + g_Vt(m)√2 = ( F_vt + G_vt√2 )( 3 + 2√2 )^m, 
                                                                                      (5-4-2-2-1)
　( |f_Vt(m)|, g_Vt(m) )
                                                                                      (5-4-2-2-2)
　( f_Vt(m), g_Vt(m) ) = ( f_vt(2m), g_vt(2m) )      ( m ≧ 0 )
                                                                                    (5-4-2-2-3-1)
  ( -f_Vt(m), g_Vt(m) ) = ( f_ut(-2m-1), g_ut(-2m-1) )      ( m ＜ 0 )  
                                                                                    (5-4-2-2-3-2)
                              ( t = 1, 2, …, 2^n-1 ), ( m = …, -2, -1, 0, 1, 2, … )


 §§６. 素数ペル方程式と合成数ペル方程式の場合における座標-系列の計算例．

 §6-1. p = 7 の場合．( 素数ペル方程式 )

 (1) 第一素数, 第二素数の算出

　 1 ≦ r ≦ ( p - 1 )/2 であるような全ての剰余 r とその自乗の p による還元を求める.

        ( p - 1 )/2 = ( 7 - 1 )/2 = 3

            1, 2, 3
  自乗して,
            1, 4, 9
　還元して,
            1, 4, 2

  こうして, 3 は奇数の剰余で, しかも 2 を平方剰余に持つことが分った．

        3² - 2･1² = 7,  3 ＞ 2･1
から
        ( F_u, G_u ) = ( 3, 1 )
  また
        ( 3 + √2 )( -1 + √2 ) = -1 + 2√2,  1 ＜ 2
から
        ( F_v, G_v ) = ( 1, 2 )
を得る．

  さらに,
        ( 3 + √2 )( 1 + 2√2 ) = ( 1 + √2 )･7

となっていることも分る．

　以後, 記号的に 3 + √2 を %(1/7), 1 + 2√2 を %(2/7) と書いても良いとする．

 (1-1) 第一短系列の算出.

        ( 3 + √2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

        ( 3 + √2 )( 1 + √2 ) = 5 + 4√2,

        ( 5 + 4√2 )( 1 + √2 ) = 13 + 9√2,

        ( 13 + 9√2 )( 1 + √2 ) = 31 + 22√2
                                     …
として求めて行っても良いが, 次ぎのような表を作りながら求めて行っても良い．

       指標     f      g    備考.

        0      3      1    f ＞ 2g
        1      5      4    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     13      9    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3     31     22
        4     75     53
        5    181    128
        6    437    309
        7   1055    746
        8   2547   1801
        9   6149   4348
       10  14845  10497

 (1-2) 第ニ短系列の算出．

        ( 1 + 2√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      1      2    f ＜ g
        1      5      3    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     11      8    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3     27     19
        4     65     46
        5    157    111
        6    379    268
        7    915    647
        8   2209   1562
        9   5333   3771
       10  12875   9104

 (2-1) 第一長系列の算出．

        ( 3 + √2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5   5333  -3771         
       -4    915   -647
       -3    157   -111
       -2     27    -19    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1      5     -3    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      3      1    f ＞ 2g
        1     13      9    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2     75     53    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    437    309
        4   2547   1801
        5  14845  10497

 (2-2) 第ニ長系列の算出．

        ( 1 + 2√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  -6149   4348
       -4  -1055    746
       -3   -181    128
       -2    -31     22    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     -5      4    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      1      2    f ＜ g
        1     11      8    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2     65     46    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    379    268
        4   2209   1562
        5  12875   9104

 §6-2. p = 17 の場合．( 素数ペル方程式 )

 (1) 第一素数, 第二素数の算出

        ( p - 1 )/2 = ( 17 - 1 )/2 = 8

            1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8
  自乗して,
            1,  4,  9, 16, 25, 36, 49, 64
　還元して,
            1,  4,  9, 16,  8,  2, 15, 13

  こうして, 6 が 2 を平方剰余に持つことが分った．この剰余は偶数だがこのまま解いて見よう．

　      6² - 2･1² = 34 = 2･17

     ∴ 1² - 2･3² = -17, 1 ＜ 3

     ∴ ( F_v, G_v ) = ( 1, 3 )

        ( 1 + 3√2 )( -1 + √2 ) = 5 - 2√2, 5 ＞ 2･2

     ∴ ( F_u, G_u ) = ( 5, 2 )

        ( 5 + 2√2 )( 1 + 3√2 ) = ( 1 + √2 )･17

　以後, 記号的に 5 + 2√2 を %(1/17), 1 + 3√2 を %(2/17) と書いても良いとする．

 (1-1) 第一短系列の算出．

        ( 5 + 2√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      5      2    f ＞ 2g
        1      9      7    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     23     16    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3     55     39
        4    133     94
        5    321    227
        6    775    548
        7   1871   1323
        8   4517   3194
        9  10905   7711
       10  26327  18616

 (1-2) 第ニ短系列の算出．

        ( 1 + 3√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      1      3    f ＜ g
        1      7      4    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     15     11    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3     37     26
        4     89     63
        5    215    152
        6    519    367
        7   1253    886
        8   3025   2139
        9   7303   5164
       10  17631  12467
  
 (2-1) 第一長系列の算出．

        ( 5 + 2√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5   7303  -5164
       -4   1253   -886
       -3    215   -152
       -2     37    -26    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1      7     -4    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      5      2    f ＞ 2g
        1     23     16    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    133     94    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    775    548
        4   4517   3194
        5  26327  18616

 (2-2) 第ニ長系列の算出．

        ( 1 + 3√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 -10905   7711
       -4  -1871   1323
       -3   -321    227
       -2    -55     39    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     -9      7    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      1      3    f ＜ g
        1     15     11    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2     89     63    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    519    367
        4   3025   2139
        5  17631  12467

§6-3. p = 23 の場合．( 素数ペル方程式 )

 (1) 第一素数, 第二素数の算出

        5² - 2･1² = 23, 5 ＞ 2･1

     ∴ ( F_u, G_u ) = ( 5, 1 )

        ( 5 + √2 )( -1 + √2 ) = -3 + 4√2, 3 ＜ 4

     ∴ ( F_v, G_v ) = ( 3, 4 )

        ( 5 + √2 )( 3 + 4√2 ) = ( 1 + √2 )･23

　以後, 記号的に 5 + √2 を %(1/23), 3 + 4√2 を %(2/23) と書いても良いとする．

 (1-1) 第一短系列の算出．

        ( 5 + √2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      5      1    f ＞ 2g
        1      7      6    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     19     13    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3     45     32
        4    109     77
        5    263    186
        6    635    449
        7   1533   1084
        8   3701   2617
        9   8935   6318
       10  21571  15253

 (1-2) 第ニ短系列の算出．

        ( 3 + 4√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      3      4    f ＜ g
        1     11      7    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     25     18    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3     61     43
        4    147    104
        5    355    251
        6    857    606
        7   2069   1463
        8   4995   3532
        9  12059   8527
       10  29113  20586
 
 (2-1) 第一長系列の算出．

        ( 5 + √2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  12059  -8527         
       -4   2069  -1463
       -3    355   -251
       -2     61    -43    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     11     -7    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      5      1    f ＞ 2g
        1     19     13    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    109     77    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    635    449
        4   3701   2617
        5  21571  15253
 
 (2-2) 第ニ長系列の算出．

        ( 3 + 4√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  -8935   6318
       -4  -1533   1084
       -3   -263    186
       -2    -45     32    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     -7      6    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      3      4    f ＜ g
        1     25     18    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    147    104    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    857    606
        4   4995   3532
        5  29113  20586

§6-4. P = 7² = 49 の場合．( 素冪ペル方程式 )

  この場合は P は合成数ではあるが, 

  P を割り切る異なる 8k±1 型の有理素数が 1 個であるという理由から共役最小整数解が一組だけとなる．

  従ってより詳しくは合成数ペル方程式よりも素冪ペル方程式と呼ぶべきものに属すると考えても良い．  

  (1) 第一最小解, 第二最小解の算出

        %(1/7)² = ( 3 + √2 )² = 11 + 6√2, 6 ＜ 11 ＜ 6･2, ∴ 最小解でない．

        ( 11 + 6√2 )( -1 + √2 ) = 1 - 5√2, 1 ＜ 5

     ∴ ( F_v, G_v ) = ( 1, 5 )

        ( 1 + 5√2 )( -1 + √2 ) = 9 - 4√2, 9 ＞ 4･2

     ∴ ( F_u, G_u ) = ( 9, 4 )

        ( 9 + 4√2 )( 1 + 5√2 ) = ( 1 + √2 )･49

 (1-1) 第一短系列の算出．

        ( 1 + 5√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      9      4    f ＞ 2g
        1     17     13    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     43     30    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    103     73
        4    249    176
        5    601    425
        6   1451   1026
        7   3503   2477
        8   8457   5980
        9  20417  14437
       10  49291  34854

 (1-2) 第ニ短系列の算出．

        ( 1 + 5√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      1      5    f ＜ g
        1     11      6    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     23     17    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3     57     40
        4    137     97
        5    331    234
        6    799    565
        7   1929   1364
        8   4657   3293
        9  11243   7950
       10  27143  19193

 (2-1) 第一長系列の算出．

        ( 5 + √2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  11243  -7950      
       -4   1929  -1364
       -3    331   -234
       -2     57    -40    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     11     -6    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      9      4    f ＞ 2g
        1     43     30    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    249    176    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   1451   1026
        4   8457   5980
        5  49291  34854
 
 (2-2) 第ニ長系列の算出．

        ( 1 + 5√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 -20417  14437
       -4  -3503   2477
       -3   -601    425
       -2   -103     73    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    -17     13    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      1      5    f ＜ g
        1     23     17    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    137     97    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    799    565
        4   4657   3293
        5  27143  19193

§6-5. P = 7･17 = 119 の場合．( 合成数ペル方程式 )

  この場合は P を割り切る異なる 8k±1 型の素数が 2 個となるので最小整数解も 2^2-1 = 2 組ある．

  (1) 第一最小解, 第二最小解の算出

        %(1/7)%(1/17) = ( 3 + √2 )( 5 + 2√2 ) = 19 + 11√2, 11 ＜ 19 ＜ 11･2, ∴ 最小解でない．

        ( 19 + 11√2 )( -1 + √2 ) = 3 + 8√2, 3 ＜ 8

     ∴ ( F_v1, G_v1 ) = ( 3, 8 )

        ( 3 + 8√2 )( -1 + √2 ) = 13 - 5√2, 13 ＞ 5･2

     ∴ ( F_u1, G_u1 ) = ( 13, 5 )

        ( 13 + 5√2 )( 3 + 8√2 ) = ( 1 + √2 )･119

        %(1/7)(2/17) = ( 3 + √2)( 1 + 3√2 ) = 9 + 10√2, 9 ＜ 10

     ∴ ( F_v2, G_v2 ) = ( 9, 10 )

        ( 9 + 10√2 )( -1 + √2 ) = 11 - √2, 11 ＞ 1･2

     ∴ ( F_u2, G_u2 ) = ( 11, 1 )

        ( 11 + √2 )( 9 + 10√2 ) = ( 1 + √2 )･119


 (1-1-1) 第一短系列(1) の算出．

        ( 13 + 5√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     13      5    f ＞ 2g
        1     23     18    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     59     41    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    141    100
        4    341    241
        5    823    582
        6   1987   1405
        7   4797   3392
        8  11581   8189
        9  27959  19770
       10  67499  47729

 (1-1-2) 第ニ短系列(1)の算出．

        ( 3 + 8√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      3      8    f ＜ g
        1     19     11    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     41     30    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    101     71
        4    243    172
        5    587    415
        6   1417   1002
        7   3421   2419
        8   8259   5840
        9  19939  14099
       10  48137  34038
 
(1-2-1) 第一短系列(2) の算出．

        ( 11 + 1√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     11      1    f ＞ 2g
        1     13     12    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     37     25    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3     87     62
        4    211    149
        5    509    360
        6   1229    869
        7   2967   2098
        8   7163   5065
        9  17293  12228
       10  41749  29521

 (1-2-2) 第ニ短系列(2)の算出．

        ( 9 + 10√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      9     10    f ＜ g
        1     29     19    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     67     48    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    163    115
        4    393    278
        5    949    671
        6   2291   1620
        7   5531   3911
        8  13353   9442
        9  32237  22795
       10  77827  55032

 (2-1-1) 第一長系列(1)の算出．

        ( 13 + 5√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  19939 -14099
       -4   3421  -2419
       -3    587   -415
       -2    101    -71    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     19    -11    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     13      5    f ＞ 2g
        1     59     41    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    341    241    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   1987   1405
        4  11581   8189
        5  67499  47729

 (2-1-2) 第ニ長系列(1)の算出．

        ( 1 + 5√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 -27959  19770
       -4  -4797   3392
       -3   -823    582
       -2   -141    100    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    -23     18    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      3      8    f ＜ g
        1     41     30    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    243    172    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   1417   1002
        4   8259   5840
        5  48137  34038

(2-2-1) 第一長系列(2)の算出．

        ( 11 + √2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  32237 -22795      
       -4   5531  -3911
       -3    949   -671
       -2    163   -115    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     29    -19    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     11      1    f ＞ 2g
        1     37     25    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    211    149    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   1229    869
        4   7163   5065
        5  41749  29521

 (2-2-2) 第ニ長系列(2)の算出．

        ( 9 + 10√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 -17293  12228
       -4  -2967   2098
       -3   -509    360
       -2    -87     62    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    -13     12    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      9     10    f ＜ g
        1     67     48    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    393    278    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   2291   1620
        4  13353   9442
        5  77827  55032

§6-6. P = 17･23 = 391 の場合．( 合成数ペル方程式 )

  この場合は P を割り切る異なる 8k±1 型の素数が 2 個となるので最小整数解も 2^2-1 = 2 組ある．

  (1) 第一最小解, 第二最小解の算出

        %(1/17)%(1/23) = ( 5 + 2√2 )( 5 + √2 ) = 29 + 15√2, 15 ＜ 29 ＜ 15･2, ∴ 最小解でない．

        ( 29 + 15√2 )( -1 + √2 ) = 1 + 14√2, 1 ＜ 14

     ∴ ( F_v1, G_v1 ) = ( 1, 14 )

        ( 1 + 14√2 )( -1 + √2 ) = 27 - 13√2, 27 ＞ 13･2

     ∴ ( F_u1, G_u1 ) = ( 27, 13 )

        ( 1 + 14√2 )( 27 + 13√2 ) = ( 1 + √2 )･391

        %(1/17)(2/23) = ( 5 + 2√2)( 3 + 4√2 ) = 31 + 26√2, 26 ＜ 31 ＜ 26･2, ∴ 最小解でない.

        ( 31 + 26√2 )( -1 + √2 ) = 21 + 5√2, 21 ＞ 5･2

     ∴ ( F_u2, G_u2 ) = ( 21, 5 )

        ( 21 + 5√2 )( -1 + √2 ) = -11 + 16√2, 11 ＜ 16

     ∴ ( F_v2, G_v2 ) = ( 11, 16 )

        ( 21 + 5√2 )( 11 + 16√2 ) = ( 1 + √2 )･391

 (1-1-1) 第一短系列(1) の算出．

        ( 27 + 13√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     27     13    f ＞ 2g
        1     53     40    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2    133     93    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    319    226
        4    771    545
        5   1861   1316
        6   4493   3177
        7  10847   7670
        8  26187  18517
        9  63221  44704
       10 152629 107925

 (1-1-2) 第ニ短系列(1)の算出．

        ( 1 + 14√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      1     14    f ＜ g
        1     29     15    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     59     44    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    147    103
        4    353    250
        5    853    603
        6   2059   1456
        7   4971   3515
        8  12001   8486
        9  28973  20487
       10  69947  49460
 
(1-2-1) 第一短系列(2) の算出．

        ( 21 + 5√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     21      5    f ＞ 2g
        1     31     26    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     83     57    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    197    140
        4    477    337
        5   1151    814
        6   2779   1965
        7   6709   4744
        8  16197  11453
        9  39103  27650
       10  94403  66753

 (1-2-2) 第ニ短系列(2)の算出．

        ( 11 + 16√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     11     16    f ＜ g
        1     43     27    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     97     70    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    237    167
        4    571    404
        5   1379    975
        6   3329   2354
        7   8037   5683
        8  19403  13720
        9  46843  33123
       10 113089  79966

 (2-1-1) 第一長系列(1)の算出．

        ( 27 + 13√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  28973 -20487
       -4   4971  -3515
       -3    853   -603
       -2    147   -103    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     29    -15    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     27     13    f ＞ 2g
        1    133     93    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    771    545    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   4493   3177
        4  26187  18517
        5 152629 107925

 (2-1-2) 第ニ長系列(1)の算出．

        ( 1 + 14√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 -63221  44704
       -4 -10847   7670
       -3  -1861   1316
       -2   -319    226    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    -53     40    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      1     14    f ＜ g
        1     59     44    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    353    250    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   2059   1456
        4  12001   8486
        5  69947  49460

(2-2-1) 第一長系列(2)の算出．

        ( 21 + 5√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  46843 -33123
       -4   8037  -5683
       -3   1379   -975
       -2    237   -167    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     43    -27    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     21      5    f ＞ 2g
        1     83     57    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    477    337    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   2779   1965
        4  16197  11453
        5  94403  66753

 (2-2-2) 第ニ長系列(2)の算出．

        ( 11 + 16√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 -39103  27650
       -4  -6709   4744
       -3  -1151    814
       -2   -197    140    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    -31     26    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     11     16    f ＜ g
        1     97     70    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    571    404    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   3329   2354
        4  19403  13720
        5 113089  79966

§6-7. P = 23･7 = 161 の場合．( 合成数ペル方程式 )

  この場合は P を割り切る異なる 8k±1 型の素数が 2 個となるので最小整数解も 2^2-1 = 2 組ある．

  (1) 第一最小解, 第二最小解の算出

        %(1/23)%(1/7) = ( 5 + √2 )( 3 + √2 ) = 17 + 8√2, 17 ＞ 8･2,

     ∴ ( F_u1, G_u1 ) = ( 17, 8 )

        ( 17 + 8√2 )( -1 + √2 ) = -1 + 9√2, 1 ＜ 9

     ∴ ( F_v1, G_v1 ) = ( 1, 9 )

        ( 17 + 8√2 )( 1 + 9√2 ) = ( 1 + √2 )･161

        %(1/23)%(2/7) = ( 5 + √2)( 1 + 2√2 ) = 9 + 11√2, 9 ＜ 11,

        ( 9 + 11√2 )( -1 + √2 ) = 13 - 2√2, 13 ＞ 2･2

     ∴ ( F_u2, G_u2 ) = ( 13, 2 )

        ( 13 + 2√2 )( -1 + √2 ) = -9 + 11√2, 9 ＜ 11

     ∴ ( F_v2, G_v2 ) = ( 9, 11 )

        ( 13 + 2√2 )( 9 + 11√2 ) = ( 1 + √2 )･161

 (1-1-1) 第一短系列(1) の算出．

        ( 17 + 8√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     17      8    f ＞ 2g
        1     33     25    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     83     58    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    199    141
        4    481    340
        5   1161    821
        6   2803   1982
        7   6767   4785
        8  16337  11552
        9  39441  27889
       10  95219  67330

 (1-1-2) 第ニ短系列(1)の算出．

        ( 1 + 9√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      1      9    f ＜ g
        1     19     10    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     39     29    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3     97     68
        4    233    165
        5    563    398
        6   1359    961
        7   3281   2320
        8   7921   5601
        9  19123  13522
       10  46167  32645
 
(1-2-1) 第一短系列(2) の算出．

        ( 13 + 2√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     13      2    f ＞ 2g
        1     17     15    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     47     32    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    111     79
        4    269    190
        5    649    459
        6   1567   1108
        7   3783   2675
        8   9133   6458
        9  22049  15591
       10  53231  37640

 (1-2-2) 第ニ短系列(2)の算出．

        ( 9 + 11√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      9     11    f ＜ g
        1     31     20    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2     71     51    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    173    122
        4    417    295
        5   1007    712
        6   2431   1719
        7   5869   4150
        8  14169  10019
        9  34207  24188
       10  82583  58395

 (2-1-1) 第一長系列(1)の算出．

        ( 17 + 8√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  19123 -13522
       -4   3281  -2320
       -3    563   -398
       -2     97    -68    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     19    -10    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     17      8    f ＞ 2g
        1     83     58    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    481    340    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   2803   1982
        4  16337  11552
        5  95219  67330

 (2-1-2) 第ニ長系列(1)の算出．

        ( 1 + 9√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 -39441  27889
       -4  -6767   4785
       -3  -1161    821
       -2   -199    141    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    -33     25    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      1      9    f ＜ g
        1     39     29    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    233    165    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   1359    961
        4   7921   5601
        5  46167  32645

(2-2-1) 第一長系列(2)の算出．

        ( 13 + 2√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  34207 -24188
       -4   5869  -4150
       -3   1007   -712
       -2    173   -122    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     31    -20    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     13      2    f ＞ 2g
        1     47     32    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    269    190    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   1567   1108
        4   9133   6458
        5  53231  37640

 (2-2-2) 第ニ長系列(2)の算出．

        ( 9 + 11√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 -22049  15591
       -4  -3783   2675
       -3   -649    459
       -2   -111     79    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    -17     15    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      9     11    f ＜ g
        1     71     51    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    417    295    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   2431   1719
        4  14169  10019
        5  82583  58395



§6-8. P = 7･17･23 = 2737 の場合．( 合成数ペル方程式 )

  この場合は P を割り切る異なる 8k±1 型の素数が 3 個となるので最小整数解も 2^3-1 = 4 組ある．

  (1) 第一最小解, 第二最小解の算出

   (最小解１)

        %(1/7)%(1/17)%(1/23) = ( 3 + √2 )( 5 + 2√2 )( 5 + √2 ) 
                             
                             = 117 + 74√2, 74 ＜ 117 ＜ 74･2, ∴ 最小解でない．

       ( 117 + 74√2 )( -1 + √2 ) = 31 + 43√2, 31 ＜ 43

     ∴ ( F_v1, G_v1 ) = ( 31, 43 )

        ( 31 + 43√2 )( -1 + √2 ) = 55 - 12√2, 55 ＞ 12･2

     ∴ ( F_u1, G_u1 ) = ( 55, 12 )

        ( 31 + 43√2 )( 55 + 12√2 ) = ( 1 + √2 )･2737

   (最小解２)

        %(1/7)%(1/17)%(2/23) = ( 3 + √2 )( 5 + 2√2)( 3 + 4√2 ) 

                             = 145 + 109√2, 109 ＜ 145 ＜ 109･2, ∴ 最小解でない．

        ( 145 + 109√2 )( -1 + √2 ) = -73 + 36√2, 73 ＞ 36･2

     ∴ ( F_u2, G_u2 ) = ( 73, 36 )

        ( 73 + 36√2 )( -1 + √2 ) = -1 + 37√2, 1 ＜ 37

     ∴ ( F_v2, G_v2 ) = ( 1, 37 )

        ( 73 + 36√2 )( 1 + 37√2 ) = ( 1 + √2 )･2737

   (最小解３)

        %(1/7)%(2/17)%(1/23) = ( 3 + √2 )( 1 + 3√2)( 5 + √2 ) 

                             = 65 + 59√2, 59 ＜ 65 ＜ 59･2, ∴ 最小解でない．

        ( 65 + 59√2 )( -1 + √2 ) = 53 + 6√2, 53 ＞ 6･2

     ∴ ( F_u3, G_u3 ) = ( 53, 6 )

        ( 53 + 6√2 )( -1 + √2 ) = -41 + 47√2, 41 ＜ 47

     ∴ ( F_v3, G_v3 ) = ( 41, 47 )

        ( 53 + 6√2 )( 41 + 47√2 ) = ( 1 + √2 )･2737

   (最小解４)

        %(1/7)%(2/17)%(2/23) = ( 3 + √2 )( 1 + 3√2)( 3 + 4√2 ) 

                             = 107 + 66√2, 66 ＜ 107 ＜ 66･2, ∴ 最小解でない．

        ( 107 + 66√2 )( -1 + √2 ) = 25 + 41√2, 25 ＜ 41

     ∴ ( F_v4, G_v4 ) = ( 25, 41 )

        ( 25 + 41√2 )( -1 + √2 ) = 57 - 16√2, 57 ＜ 16･2

     ∴ ( F_u4, G_u4 ) = ( 57, 16 )

        ( 25 + 41√2 )( 57 + 16√2 ) = ( 1 + √2 )･2737

 (1-1-1) 第一短系列(1) の算出．

        ( 55 + 12√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     55     12    f ＞ 2g
        1     79     67    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2    213    146    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    505    359
        4   1223    864
        5   2951   2087
        6   7125   5038
        7  17201  12163
        8  41527  29364
        9 100255  70891
       10 242037 171146

 (1-1-2) 第ニ短系列(1)の算出．

        ( 31 + 43√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     31     43    f ＜ g
        1    117     74    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2    265    191    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    647    456
        4   1559   1103
        5   3765   2662
        6   9089   6427
        7  21943  15516
        8  52975  37459
        9 127893  90434
       10 308761 218327
 
 (1-2-1) 第一短系列(2) の算出．

        ( 73 + 36√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     73     36    f ＞ 2g
        1    145    109    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2    363    254    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    871    617
        4   2105   1488
        5   5081   3593
        6  12267   8674
        7  29615  20941
        8  71497  50556 
        9 172609 122053
       10 416715 294662

 (1-2-2) 第ニ短系列(2)の算出．

       ( 1 + 37√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0      1     37    f ＜ g
        1     75     38    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2    151    113    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    377    264
        4    905    641
        5   2187   1546 
        6   5279   3733
        7  12745   9012
        8  30769  21757
        9  74283  52526
       10 179335 126809

 (1-3-1) 第一短系列(3) の算出．

        ( 53 + 6√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     53      6    f ＞ 2g
        1     65     59    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2    183    124    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    431    307
        4   1045    738
        5   2521   1783
        6   6087   4304
        7  14695  10391
        8  35477  25086  
        9  85649  60563
       10 206775 146212

 (1-3-2) 第ニ短系列(3)の算出．

         ( 41 + 47√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     41     47    f ＜ g
        1    135     88    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2    311    223    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    757    534
        4   1825   1291
        5   4407   3116
        6  10639   7523
        7  25685  18162
        8  62009  43847
        9 149703 105856
       10 361415 255559
 
 (1-4-1) 第一短系列(4) の算出．

        ( 57 + 16√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     57     16    f ＞ 2g
        1     89     73    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2    235    162    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    559    397
        4   1353    956
        5   3265   2309
        6   7883   5574
        7  19031  13457
        8  45945  32488
        9 110921  78433
       10 267787 189354

 (1-4-2) 第ニ短系列(4)の算出．

        ( 25 + 41√2 )( 1 + √2 )ⁿ   ( n = 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

        0     25     41    f ＜ g
        1    107     66    f' = f + 2g, g' = f + g        ( 横の漸化 )
        2    239    173    f'' = 2f' + f, g'' = 2g' + g   ( 縦の漸化 )
        3    585    412
        4   1409    997
        5   3403   2406
        6   8215   5809
        7  19833  14024
        8  47881  33857
        9 115595  81738
       10 279071 197333

 (2-1-1) 第一長系列(1)の算出．

        ( 55 + 12√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f       g    備考.

       -5 127893  -90434
       -4  21943  -15516
       -3   3765   -2662
       -2    647    -456    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    117     -74    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     55      12    f ＞ 2g
        1    213     146    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2   1223     864    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   7125    5038     
        4  41527   29364
        5 242037  171146

 (2-1-2) 第ニ長系列(1)の算出．

        ( 31 + 43√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標      f      g    備考.

       -5 -100255  70891
       -4  -17201  12163
       -3   -2951   2087
       -2    -505    359    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     -79     67    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      31     43    f ＜ g
        1     265    191    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    1559   1103    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    9089   6427
        4   52975  37459
        5  308761 218327

 (2-2-1) 第一長系列(2)の算出．

        ( 73 + 36√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5  74283 -52526
       -4  12745  -9012
       -3   2187  -1546
       -2    377   -264    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     75    -38    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     73     36    f ＞ 2g
        1    363    254    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2   2105   1488    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3  12267   8674
        4  71497  50556
        5 416715 294662

 (2-2-2) 第ニ長系列(2)の算出．

        ( 1 + 37√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標      f      g    備考.

       -5 -172609 122053
       -4  -29615  20941
       -3   -5081   3593
       -2    -871    617    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    -145    109    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0       1     37    f ＜ g
        1     151    113    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2     905    641    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    5279   3733
        4   30769  21757
        5  179335 126809

 (2-3-1) 第一長系列(3)の算出．

        ( 53 + 6√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f       g    備考.

       -5 149703 -105856
       -4  25685  -18162
       -3   4407   -3116
       -2    757    -534    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    135     -88    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     53       6    f ＞ 2g
        1    183     124    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2   1045     738    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   6087    4304
        4  35477   25086
        5 206775  146212

 (2-3-2) 第ニ長系列(3)の算出．

        ( 41 + 47√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 -85649  60563
       -4 -14695  10391
       -3  -2521   1783
       -2   -431    307    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    -65     59    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     41     47    f ＜ g
        1    311    223    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2   1825   1291    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3  10639   7523
        4  62009  43847
        5 361415 255559

 (2-4-1) 第一長系列(4)の算出．

        ( 57 + 16√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標     f      g    備考.

       -5 115595 -81738
       -4  19833 -14024
       -3   3403  -2406
       -2    585   -412    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1    107    -66    f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0     57     16    f ＞ 2g
        1    235    162    f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2   1353    956    f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3   7883   5574
        4  45945  32488
        5 267787 189354

 (2-4-2) 第ニ長系列(4)の算出．

        ( 25 + 41√2 )( 3 + 2√2 )ⁿ   ( n = …, -2, -1, 0, 1, 2, …, )

       指標      f      g    備考.

       -5 -110921  78433
       -4  -19031  13457
       -3   -3265   2309
       -2    -559    397     f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
       -1     -89     73     f' = 3f - 4g, g' = -2f + 3g    ( 横の漸化 )
        0      25     41     f ＜ g
        1     239    173     f' = 3f + 4g, g' = 2f + 3g     ( 横の漸化 )
        2    1409    997     f'' = 6f' - f, g'' = 6g' - g   ( 縦の漸化 )
        3    8215   5809
        4   47881  33857
        5  279071 197333



                    しとしとと　夏の終わりを　夜もすがら　　（筆者）

                                                                                      (2006/8/31)
　（本稿終わり）