_Message
整数の三平方の定理の直交する二辺の差
§§０ 凡例．
１．自然数の集合を {N+} とする．
２．整数の集合を {N} とする．
３．整数に √2 を添加した二次拡大整数環を {N(√2)} とする．
４．整数 a, b の最大公約数が c であることを，
(a,b) = c
であらわす．
特に c = 1 のとき, " a と b は互いに素である．" と云う．
５．整数 a が整数 b を割り切ることを，
a|b
であらわす．
６．整数 a を整数 b で割った剰余が r であれば，
a ≡ r ( mod b )
であらわす．
§§１ 自然数の n 乗巾（冪）の一次差分，二次差分と全ての自然数 n 乗巾の三項式に共通な基本原理の考案．
§1.1 自然数の n 乗巾と一次差分．
適当な指数を n 任意の自然数を x として, x の n 乗巾 xn の一次差分 μn(x) を次のように定義する．
μn(0) = 1n - 0 = 1,
μn(1) = 2n - 1,
μn(2) = 3n - 2n,
… … …
μn(x-1) = xn - (x-1)n,
μn(x) = (x+1)n - xn
∴ xn = μn(0) + μn(1) + μn(2) + … + μn(x-1)
(1)
§1.2 自然数の n 乗巾と二次差分．
適当な指数を n 任意の自然数を x として, x の n 乗巾 xn のニ次差分 νn(x) を次のように定義する．
（ 番号が μ の勘定の規則と比較して故意に 1 だけずらしてあることに注意．）
νn(1) = μn(1) - μn(0) = 2n - 2,
νn(2) = μn(2) - μn(1) = 3n - 2･2n + 1,
… … …
νn(x-1) = μn(x-1) - μn(x-2) = xn - 2(x-1)n + (x-2)n,
νn(x) = μn(x) - μn(x-1) = (x+1)n - 2xn + (x-1)n
∴ μn(x) = μn(0) + νn(1) + νn(2) + … + νn(x)
(2)
§1.3 全ての n 乗巾三項式の成否に共通な一原理．
次の定理が成り立つ．
[定理１]
xn = xμn(0) + (x-1)νn(1) + (x-2)νn(2) + … + 2νn(x-2) + νn(x-1)
[証明]
(1) から，
xn = μn(0) + μn(1) + μn(2) + … + μn(x-2) + μn(x-1)
ところが (2) から，
μn(x-1) = νn(x-1) + μn(x-2)
∴ xn = μn(0) + μn(1) + μn(2) + … + 2μn(x-2) + νn(x-1)
同様に，
xn = μn(0) + μn(1) + μn(2) + … + 3μn(x-3) + 2νn(x-2) + νn(x-1)
これを繰り返すことで，
xn = xμn(0) + (x-1)νn(1) + (x-2)νn(2) + … + 2νn(x-2) + νn(x-1)
（証明終り）
[定理２]
∀ x,y,z ∈ {N+}( xn + yn = zn, x ＜ y ＜ z )
としてさらに，
λn(x+y-z+1,x,y,z-1)
= νn(x+y-z+1) + νn(x+y-z+2) + … + νn(x)
+ νn(x+y-z+2) + νn(x+y-z+3) + … + νn(x+1)
… … …
+ νn(y) + νn(y+1) + … + νn(z-1)
と定義すれば，
xn + yn = zn ⇔ (x+y-z)n = λn(x+y-z+1,x,y,z-1)
が成り立つ．
[証明]
yn = (x+y-z)n
+ μn(0) + νn(1) + νn(2) + … + νn(x+y-z)
+ μn(0) + νn(1) + νn(2) + … + νn(x+y-z) + νn(x+y-z+1)
… … …
+ μn(0) + νn(1) + νn(2) + … + νn(x+y-z) + νn(x+y-z+1) + … + νn(y-1)
(3)
ところが，
zn - xn
= μn(0) + νn(1) + νn(2) + … + νn(x+y-z) + … + νn(x)
+ μn(0) + νn(1) + νn(2) + … + νn(x+y-z) + … + νn(x) + νn(x+1)
… … …
+ μn(0) + νn(1) + νn(2) + … + νn(x+y-z) + … + νn(y) + νn(x+1) + … + νn(z-1)
(4)
ゆえに (3),(4) から
(x+y-z)n
= νn(x+y-z+1) + νn(x+y-z+2) + … + νn(x)
+ νn(x+y-z+2) + νn(x+y-z+3) + … + νn(x+1)
… … …
+ νn(y) + νn(y+1) + … + νn(z-1)
∴ xn + yn = zn ⇔ (x+y-z)n = λn(x+y-z+1,x,y,z-1)
（証明終り）
以後これを n 乗巾三項式の均衡定理，あるいは単に均衡定理と呼ぼう．
§1.4 個々の n について均衡定理の概略的な性質．
(1) n = 1 の場合．
自明ではあるが，
μ(0) = μ(1) = … = μ(x) = 1,
ν(1) = ν(2) = … = ν(x) = 0
となるので定理は肯定的に成立する．すなわち，
(x+y-z)1 = 0, λ1( x+y-z+1, x, y, z-1 ) = 0,
x + y = z ⇔ (x+y-z)1 = λ1( x+y-z+1, x, y, z-1 ) = 0
(2) n = 2 の場合．
μ(0) = 1, μ(1) = 3 … = μ(x) = 2x + 1,
ν(1) = ν(2) = … = ν(x) = 2,
x + y - z ≡ 0 (mod2),
λ2( x+y-z+1, x, y, z-1 ) = 2( z - x )( z - y ),
x2 + y2 = z2 ⇔ ( x + y - z )2 = 2( z - x )( z - y )
が成り立つ．
例えば,
152 + 82 = 172
を例に取れば，
( 15 + 8 - 17 )2 = 2( 17 - 15 )( 17 - 8 ) = 36
となる．
本稿では主にこの場合についてを考察する．
n ≧ 3 において均衡定理が成立しないことはフェルマーの大定理から明らか．
（フェルマーの大定理は１９９５年イギリスの Andrew John Wiles(1953'4'11～)によって証明された．☆☆☆☆☆）
n ≧ 3 の場合については主に先の均衡定理から見た条件付きの初等的な証明を
別記「次数３のフェルマーの大定理の証明」の続編として，随時加筆するつもりでいる．
(3) n = 3 の場合．
μ(0) = 1, μ(1) = 7 … , μ(x) = 6x(x+1)/2 + 1,
ν(1) = 6, ν(2) = 12, … , ν(x) = 6x,
x + y - z ≡ 0 (mod 6), λ3(x+y-z+1,x,y,z-1) = 3(z-x)(z-y)(x+y),
x3 + y3 = z3 ⇔ ( x + y - z )3 = 3( z - x )( z - y )( x + y )
さて， n = 1, 2 の場合 n 乗巾の二次差分 νn(x) は一定の差の値であったが，
n ≧ 3 では νn(x) は一定の差にはならず n と共に増加する．
n = 3 で均衡が成立しないことは例えば「ガウスの次数３の場合のフェルマーの大定理の証明」によっても明らか．
さらに n ＞ 3 の場合となれば, その二次差分 νn(x) は ν3(x) と比較して急激に増加する．
ゆえに n = 3 の場合よりはなおさら均衡が成立しないだろうことは経験的になら肯定できると思える．
正確な証明ではないにせよ，このような方法でも「フェルマーの大定理」の意味を初等的，マクロ的には説明できる．
§§２．主に n = 2 の場合の均衡定理の応用による三平方の定理の研究．
§2.1 n=2 の場合の均衡定理と類似の定理たち
次の定理が成り立つ．
[定理３]
x,y,z ∈ {N+},
として，いわゆる三平方の定理（ピタゴラスの定理）
x2 + y2 = z2
が成り立っているとする．
このとき，
(x+y+z)2 = 2(z+x)(z+y)
(3-1)
(x+y-z)2 = 2(z-x)(z-y)
(3-2)
(x-y+z)2 = 2(z+x)(z-y)
(3-3)
(-x+y+z)2 = 2(z-x)(z+y)
(3-4)
が成り立つ．
[証明]
単に左辺と右辺を展開して付き合わせるだけでほぼ自明に定理の正しいことが確かめられる．
(3-2) は既に述べた n=2 の場合の均衡定理に当たっている．よって証明済みである．
それで，(3-4) だけを証明しておく．
L = (-x+y+z)2,
R = 2(z-x)(z+y)
とする．
L = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx
R = 2z2 - 2xy + 2yz - 2zx
∴ L - R = x2 + y2 - z2 = 0
∴ L = R
∴ (-x+y+z)2 = 2(z-x)(z+y)
残りの 2 式も同様な方法で証明できる．
（証明終り）
§2.2 n=2 の場合の均衡定理による三変数の因数分解と {N(√2)} との関係．
次の定理が成り立つ．
[定理４]
∀ x,y,z ∈ {N+}((x,y) = 1, x2 + y2 = z2 )
であるなら，
(4-1) xy ≡ 0, z ≡ 1 ( mod 4 )
(4-2) xy ≡ 0, z ≡ ±1 ( mod 3 )
(4-3) xyz ≡ 0 ( mod 5 )
(4-4) 60|xyz
となる．
[証明]
x,y,z が全て奇数であれば，
x2 + y2 ≡ 2, z2 ≡ 1 ( mod 8 )
となり矛盾．
ところが z が偶数であったならば，
z2 ≡ 0 ( mod 4 )
となり矛盾．
また (x,y) = 1 から x,y のどちらか一方のみが偶数でなければならない．
そこで y が偶数であると仮定する．
y2 = z2 - x2 ≡ 0 ( mod 8 )
∴ y ≡ 0 ( mod 4 )
さらに，定理５で示すように，
z = g'2 + g2, z ≡ 1 ( mod 2 )
から,
z ≡ 1 ( mod 4 )
x,y,z のどれもが 3 の倍数でなければ，
x2 + y2 ≡ 2, z2 ≡ 1 ( mod 3 )
となり矛盾．
∴ xy ≡ 0, z ≡ ± 1 ( mod 3 )
x,y,z のどれもが 5 の倍数でなければ，
x2 ≡ y2 ≡ z2 ≡ ±1 ( mod 5 )
ところが，
x2 + y2 - z2 ≡ ± 1 ± 1 ± 1 ¬≡ 0 ( mod 5 )
となり矛盾．
∴ xyz ≡ 0 ( mod 5 )
示された事がらをさらに総合すると，
60|xyz
（証明終り）
以後, 本稿では特に断らない限り，
y ≡ 0 ( mod 4 )
として扱う．
[定理５]
∀ x,y,z ∈ {N+}((x,y) = 1, y ≡ 0 ( mod 4 ), x2 + y2 = z2 )
であるなら，
∃ f,g,f',g' ∈ {N+}, (f,g) = (f',g') = 1, f ≡ f'≡ 1 ( mod 2 ),
f' + g'√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 )，
(5-1-1) x = f2 + 2fg = f'f = g'2 - g2 = 2f'g' - f'2
(5-1-2) y = 2g2 + 2fg = ( f'2 - f2 )/2 = 2g'g = 2f'g' - 2g'2
(5-1-3) z = f2 + 2g2 + 2fg = ( f'2 + f2 )/2 = g'2 + g2 = -2f'g' + f'2 + 2g'
(5-2-1) z - y = f2
(5-2-2) z - x = 2g2
(5-2-3) z + y = f'2
(5-2-4) z + x = 2g'2
(5-3-1) x + y + z = 2f'g'
(5-3-2) x + y - z = 2fg
(5-3-3) x - y + z = 2fg'
(5-3-4) -x + y + z = 2f'g
となる．
[証明]
f' + g'√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 )
から，
f' = f + 2g = g' + g,
(5-4-1)
g' = f + g = ( f' + f )/2
(5-4-2)
n=2 の均衡定理から，
(x+y-z)2 = 2(z-x)(z-y)
∴ x + y - z ≡ 0 ( mod 2 )
仮定から，
y ≡ 0 ( mod 4 )
さらに，
z - y | x2, z - x | y2, (x,y) = 1
から，
x + y - z = 2fg, z - y = f2, z - x = 2g2, (f,g) = 1, f ≡ 1 ( mod 2 )
(4-4-3)
と取れば良いことが分る．
∴ x = ( x + y - z ) + ( z - y ) = 2fg + f2
= f'f = g'2 - g2 = 2f'g' - f'2, x ≡ f' ≡ f ≡ g' + g ≡ 1 ( mod 2 )
y = ( x + y - z ) + ( z - x ) = 2fg + 2g2
= ( f'2 - f2 )/2 = 2g'g = 2f'g' - 2g'2, y ≡ 0 ( mod 4 )
z = ( x + y - z ) + ( z - y ) + ( z - x ) = 2fg + f2 + 2g2
= ( f'2 + f2 )/2 = g'2 + g2 = -2f'g' + f'2 + 2g'2, z ≡ 1 ( mod 4 )
∴ z + y = f'2, z + x = 2g'2
∴ x + y + z = 2f'g', x - y + z = 2fg', - x + y + z = 2f'g
（証明終り）
特に，
x = g'2 - g2, y = 2g'g, z = g'2 + g2 ≡ 1 ( mod 4 )
などはガウスが判別式が -1 である二次拡大整数環の模範的な研究例を示す中で，この拡大環の特性から導いている．
しかしながら，上の式たちの単なる証明だけで良いのなら，このような初等的方法でも簡単に示し得るのである．
§2.3 直交する二辺 x, y の差と和．
こうして，ピタゴラスの定理三つ組み (x,y,z) において，（以後は単に定理三つ組と呼ぶ．）
∀ x,y,z ∈ {N+}((x,y) = 1, y ≡ 0 ( mod 4 ), x2 + y2 = z2 )
であるなら，
∃ f,g,f',g' ∈ {N+}, (f,g) = (f',g') = 1, f ≡ f'≡ 1 ( mod 2 ),
f' + g'√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 )，
x = 2fg + f2 = f'f = g'2 - g2 = 2f'g' - f'2
y = 2fg + 2g2 = ( f'2 - f2 )/2 = 2g'g = 2f'g' - 2g'2
z = 2fg + f2 + 2g2 = ( f'2 + f2 )/2 = g'2 + g2 = -2f'g' + f'2 + 2g'2
であることが示された．
私は f,g を用いた式を fg パラメータ，f',f を用いた式を f パラメータ，g',g を用いた式を g パラメータ
f',g' を用いた式を f'g' パラメータと呼んでいる．
実用的には g パラメータが数値が小さいことと分数を含まないなどの理由で良いかもしれない．
各パラメータ間の変換には，
f = g' - g, g = ( f' - f )/2, f' = g' + g, g' = ( f' + f )/2
が成り立つ．
さて，そこで直角を挟む二辺 x, y の差を取って見れば，右辺の整数の絶対値を P として，
x - y = f2 - 2g2 = -f'2 + 2g'2 = P, -P
ここで P は，別記「判別式が２の二次拡大整数環」で詳しく述べているように {±1,8k±1 型の素数の積} となる．
また x と y の和についても，
x + y = 2fg + f2 + 2fg + 2g2
= ( f + 2g )2 - 2g2 = f'2 - 2g2
= P'
ここで P' は P とは異なる {±1,8k±1 型の素数の積} となる．
以後の議論で ( x, y, z ) を定理三つ組み，( f, g ) を双曲座標と呼ぶ．
また，( F, G ) を特別な双曲座標, n を適当な整数として，fn, gn が
fn + gn = ( F + G√2 )( 1 + √2 )n
と定義されてあったとする．このとき，n を双曲指数と呼ぼう．
別に fn，gn が
fn + gn = ( F + G√2 )( 3 + 2√2 )n
と定義されてあったとき，前者を両側双曲指数，後者を片側双曲指数と呼んで区別する．
このような命名の理由は,
前者においては，
fn2 - 2gn2 = ±( F2 - 2G2 )
となり，
(1) n が偶数ならば，
fn2 - 2gn2 = F2 - 2G2
(2) n が奇数ならば，
fn2 - 2gn2 = -( F2 - 2G2 )
となって二本の双曲線上を交互に動く．
一方，後者では，n の遇奇によらず．常に
fn2 - 2gn2 = F2 - 2G2
の上のみを動くことによる．
さらに次の定理が成り立つ．
[定理５’]
x = f'g' - f'g = fg' + fg
y = f'g' - fg' = fg + f'g
z = f'g' - fg = f'g + fg'
[証明]
簡単なので省略する．
（証明終り）
この表示の仕方を命名すれば，減法混合パラメータ，加法混合パラメータとでも呼べば云いだろう．
何れのパラメータで表示するにせよ f,g,f',g' を全て用いることを守ったとして，
（１）fg パラメータと f'g' パラメータを併記する．
（２）f パラメータと g パラメータを併記する．
（３）減法混合パラメータと加法混合パラメータを併記する．
というように少なくとも３通りあると考えられる．
（１）の fg パラメータと f'g' パラメータを併記する方法では一組の (f,g) から，
x = 2fg + f2, y = 2fg + 2g2, z = 2fg + f2 + 2g2
`x = 2fg - f2, `y = 2fg - 2g2, `z = - 2fg + f2 + 2g2
というように二組の異なった定理三つ組 (x,y,z),(`x,`y,`z) が得られる．
このような方法で (x,y,z) を求めることを加法生成，(`x,`y,`z) を求めることを減法生成と呼ぶ．
また「判別式が２の二次拡大整数環」で調べたように
f2 - 2g2 = ±P
において最小解を持つ場合に上の減法生成を実行すると，
（１）Fu ＞ 2Gu ＞ 0 のとき
`xu = 2FuGu - Fu2 ＜ 0,
`yu = 2FuGu - 2Gu2 ＞ 0,
`zu = - 2FuGu + Fu2 + 2Gu2 ＞ 0,
`xu - `yu = - P
|`xu| + |`yu| = P
（２）0 ＜ Fv ＜ Gv かつ ( Fu + Gu√2 )( -1 + √2 ) = - Fv + Gv√2 のとき
`xv = 2FvGv - Fv2 ＞ 0,
`yv = 2FvGv - 2Gv2 ＜ 0,
`zv = - 2FvGv + Fv2 + 2Gv2 ＞ 0,
`xv - `yv = P,
|`xv| + |`yv| = P
しかも，
|`xu| = |`xv|, |`yu| = |`yv|, |`zu| = |`zv|
となる．
すなわち，x - y を直交差，x + y を直交和と呼んだとすれば，
P を直交差に持つ定理三つ組の指標系に P を直交和に持つ定理三つ組を埋め込めることを暗示している．
P を割り切る 8k±1 型の異なる素数が m 個あれば，直交和が P である定理三つ組は丁度 2m-1 組ある．
その理由は先に挙げた ( Fu,Gu ),( Fv,Gv ) を一組として，このような最小解の組も丁度 2m-1 組あることによる．
すなわち, 直交和が P であるような定理三つ組たちが 0 番目に当たるような 2m-1 組の指標系を工夫すれば，
全ての直交差が P であるような定理三つ組たちを漏れなく重複なく列挙できるということなのである．
このような指標系を作り上げようとすることも本稿の中心的な課題の一つである．
§2.4 三平方の定理から導かれた四平方の定理．
次が成り立つ．
[定理６]
∀ x,y,z ∈ {N+}((x,y) = 1, y ≡ 0 ( mod 4 ), x2 + y2 = z2 )
であるなら，
∃ a1,a2,b1,b2,c1,c2,c3,c4,d1,d2,d3,d4 ∈ {N+},
a1 = z - y, a2 = z + y, b1 = z - x, b2 = z + x,
c1 = - z + y + x, c2 = z + y - x, c3 = z - y + x, c4 = z + y + x,
d1 = 2z - y - x, d2 = 2z + y - x, d3 = 2z - y + x, d4 = 2z + y + x,
であるような数たちが存在して，
(1) a12 + b12 + c12 = d12,
(2) a22 + b12 + c22 = d22,
(3) a12 + b22 + c32 = d32,
(4) a22 + b22 + c42 = d42
[証明]
簡単なので (1) だけ証明しておく．
a12 = ( z - y )2 = z2 + y2 - 2yz,
b12 = ( z - x )2 = z2 + x2 - 2zx,
c12 = ( - z + y + x )2 = z2 + y2 + x2 - 2yz - 2zx + 2xy,
d12 = ( 2z - y - x )2 = 4z2 + y2 + x2 - 4yz - 4zx + 2xy,
∴ a12 + b12 + c12 = 3z2 + 2y2 + 2x2 - 4yz - 4zx + 2xy
= 5z2 - 4yz - 4zx + 2xy
∴ a12 + b12 + c12 = d12
残りも同様な方法で証明できる．
（証明終り）
これらの数たちを f,g,f',g' で書き直すと，一部は以前と重複するが，
a1 = z - y = f2, a2 = z + y = f'2,
b1 = z - x = 2g2, b2 = z + x = 2g'2,
c1 = - z + y + x = 2fg, c2 = z + y - x = 2f'g,
c3 = z - y + x = 2fg', c4 = z + y + x = 2f'g',
d1 = 2z - y - x = f2 + 2g2, d2 = 2z + y - x = f'2 + 2g2,
d3 = 2z - y + x = f2 + 2g'2, d4 = 2z + y + x = f'2 + 2g'2
となる．
しかしながら，一般にこの定理の逆は成立しない．
本稿の主旨からして少し寄り道だが判別式が -1 の二次拡大整数環に触れる機会にはなるので次節で少し述べておく．
§2.5 判別式が -1 の二次拡大整数環 {N(√-1)} から導かれた四平方の定理．
i = √-1 として {N(i)} の基本的な特徴を詳しい証明抜きで簡単に述べると，
(1) 単数が 1,i,-1,-i の四つあり，これらを {N(i)} の任意の数に乗じても元の数と同値な関係にあるとする．
(2) ∀α,β,γ ∈ {N(i)}, ∃a1,b1,a2,b2,a3,b3,
α = a1 + b1i, β = a2 + b2i,
γ = αβ = a3 + b3i
ならば，Ｎ() をノルムの記号として，
Ｎ(αβ) = Ｎ(α)Ｎ(β)
すなわち，
( a12 + b12 )( a22 + b22 ) = a32 + b32
が成り立つ．
(3-1) ∀x,y ∈ {R}, - 1/2 ≦ x ≦ 1/2, - 1/2 ≦ y ≦ 1/2,
ならば，
Ｎ( x + yi ) = x2 + y2 ＜ 1
となる．
この結果 {N(i)} は素元分解の一意性が成り立つような拡大整数環となる．
(3-2) 任意の 4k+1 型の有理素数を p とすれば，p は {N(i)} では合成数となり，
適当な有理整数を a, b として，
p = a2 + b2 = ( a + bi )( a - bi )
と分解でき，a + bi, a - bi は {N(i)} では素元となる．
(3-3) 4k+3 型の有理素数は {N(i)} でも素元である．
(3-4) 2 は {N(i)} では合成数であって, 同じ素元 1 + i の二乗と同値である．
(4) ∀x,y,z ∈ {N+}( x2 + y2 = z2, (x,y) = 1, y ≡ 0 (mod 4))
ならば，
( z, 2 ) ≠ 2 ⇒ ( x + yi, x - yi ) = 1
となるから，
適当な有理整数を u,v として，
x + yi= ( u + vi )2, x - yi = ( u - vi )2,
であるが成り立つ．
これらを解いて，
x = u2 - v2, y = 2uv, z = u2 + v2
であると云え，以前に初等的に導いたのと同じ結果が得られる．
さて，これらのことを踏まえて四平方の定理を作って見よう．
(5) {4k±1 型素数の積} の中から任意に異なる二つの有理整数 p,q を選ぶとせよ．( p ＞ q とする．)
さらに，
d + c = p
d - c = q
となるような有理整数を d,c とせよ．
これを解けば，
d = ( p + q )/2, c = ( p - q )/2
となる．
p, q は {N(i)} の要素であり，しかも上の (2),(3-2) から，
適当な有理整数 a1,b1,a2,b2 が存在して，
p = a12 + b12,
q = a22 + b22,
とできる．
そこでさらに適当な有理整数を a,b として，
a + bi = ( a1 + b1i )( a2 + b2i )
または
a + bi = ( a1 + b1i )( a2 - b2i )
とせよ．
然らば，
pq = d2 - c2 = a2 + b2
こうして，
a2 + b2 + c2 = d2
が得られる．
例題を一つだけやって見よう．
(6) p = 13, q = 5 として四平方の定理を作れ．
d = ( p + q )/2 = ( 5 + 13 )/2 = 9, c = ( p - q )/2 = ( 13 - 5 )/2 = 4
p = 13 = 32 + 22, q = 5 = 22 + 1
から，
a + bi = ( 3 + 2i )( 2 + i ) = 4 + 7i
こうして，
72 + 42 + 42 = 92
となり四平方の定理が得られる．
しかしながら，
( a, b, c, d ) = ( 7, 4, 4, 9 ) ≠ ( f2, 2g2, 2fg, f2 + 2g2 )
なので三平方の定理には出来ない．よって [定理６] の逆は成立しない．
ところが，
a + bi = ( 3 + 2i )( 2 - i ) = 8 + i
としたならば，
12 + 82 + 42 = 92
となり四平方の定理が得られる．
さらに，f = 1, g = 2 として，
( a, b, c, d ) = ( 1, 8, 4, 9 ) = ( f2, 2g2, 2fg, f2 + 2g2 )
なので，
( x, y, z ) = ( a + c, b + c, d + c ) = ( 5, 12, 13 )
となり三平方の定理も導ける．
本節の方法は [定理６] の方法で得られた四平方の定理を真部分集合として含むと云えるのだろうか ?
z = d + c が {4k+1型の素数の積} の要素であることはこの分野の参考書等からも分る．
しかしながら，d - c についてはどうだろう ?
ここで, f が予め奇数に取られていたことに注意すると，
d + c = f2 + 2g2 + 2fg = ( f + g )2 + g2 ⇔ ( d + c )∈{4k+1型素数の積}
↓
d - c = f2 + 2g2 - 2fg = ( f - g )2 + g2 ⇒ ( d - c )∈{4k+1型素数の積}
よって, 本節の方法は [定理６] の方法で得られた四平方の定理を真部分集合として含む.
また，仔細は省略するが，三平方の定理に戻らないときは，この場合の全てではないが，
( a, b, c, d ) = ( |f2 - 2g2|, 2fg, 2fg, f2 + 2g2 )
となっている場合もあると考えられる．
実際，
( f2 - 2g2 )2 + ( 2fg )2 + ( 2fg )2 = ( f2 + 2g2 )2
が成り立つ．
これが成り立つのは上の d + c と d - c で g2 を共有しているからである．
一般の組み合わせでは d + c に使われる f,g と d - c で使われる f,g は必ずしも一致しない．
例えば d + c = 17, d - c = 13 のとき，
d + c = ( 5 - 1 )2 + 1, ( f,g ) = ( 5,1 )
d - c = ( 5 - 2 )2 + 22, ( f,g ) = ( 5,2 )
この条件で二種類の四平方の定理を作ると，
112 + 102 + 22 = 152
52 + 142 + 22 = 152
どちらも三平方の定理には戻れない．
いずれにせよ，本節の方法は [定理６] の方法で得られた四平方の定理を真部分集合として含むと云える.
§2.6 また別の四平方の定理. 多平方の定理. 三平方三平方の定理.（ 筆者命名 ）
一般に,
∀ x,y,z ∈ {N+}((x,y) = 1, y ≡ 0 ( mod 4 ), x2 + y2 = z2 )
であることを前提として,
既に「三項式の固有値」において証明したように次の定理たちが成り立つ. （ 証明省略 ）
[定理７－１] 四平方の定理. 五平方の定理. 六平方の定理.
( x4 + y4 + z4 )/2
= x4 + y2z2 = y4 + z2x2 = z4 - x2y2
= x4 + x2y2 + y4 = y4 - y2z2 + z4 = z4 - z2x2 + x4
[定理７－２]
( x4 + y4 + z4 )2 = 2( x8 + y8 + z8 )
[定理７－３] 三平方三平方の定理.
( x4 + y4 + z4 + 1 )2 + ( x4 + y4 + z4 + x8 + y8 + z8 )2 = ( x4 + y4 + z4 + x8 + y8 + z8 + 1 )2
§2.7 指数 p が素数の場合のフェルマーの大定理におけるソフィー･ジェルマンの定理の証明.
ついでながら，筆の勢いで以下の事なども証明しておこう.
一般に，次のような命題１は 指数 p が素数の場合のフェルマーの大定理と呼ばれている.
[命題１]
" ∀ p ( p ∈ {素数}, p ≧ 3 ) ∧ ∀ x,y,z ∈ {N+}((x,y) = 1)
⇒ xp + yp ≠ zp "
つまり易しく云えば,
”x, y, z を互いに素である任意の正の整数たち，p を適当な 3 以上の素数とすれば，
xp + yp = zp
となるような整数解 x, y, z は存在しない．”
と云う定理である.
この定理の証明は更に次の二つの場合に分けられる．
（１）第一の場合．
xyz ¬≡ 0 ( mod p )
（２）第二の場合．
xyz ≡ 0 ( mod p )
ソフィー･ジェルマンは,
”q = 2p + 1 かつ q が素数であるならば，
xp + yp = zp, p は適当な 3 以上の素数,
xyz ¬≡ 0 ( mod p )
となるような正の整数解 x, y, z は存在しない.”
すなわち,
”q = 2p + 1 が素数であるような適当な素数 p を指数としてフェルマーの大定理は第一の場合に真である．”
ということを証明した．
（ ソフィーがルブランという男の偽名を使ってガウスと文通し添削指導(?)を受けたという逸話が残っている．）
これを少し別の初等的な方法で証明してみよう．
次の定理たちが成り立つ．
[定理８－１]
xp + yp = zp, p は適当な 3 以上の素数．
が正の整数解 x, y, z を持てば，
( x2p + y2p + z2p )2 = 2( x4p + y4p + z4p )
が成り立つ．
[証明]
xp + yp = zp
が真であれば，
x2p + y2p + z2p = 2( x2p + xpyp + y2p )
一方，
x4p + y4p + z4p = x4p + y4p + ( xp + yp )4
= 2x4p + 4x3pyp + 6x2py2p + 4xpy3p + 2y4p
= 2( x4p + 2x3pyp + 3x2py2p + 2xpy3p + y4p )
= 2( x2p + xpyp + y2p )2
∴ ( x2p + y2p + z2p )2 = 2( x4p + y4p + z4p )
（証明終わり）
[定理８－２]
p が適当な 3 以上の素数, q = 2p + 1 が素数であるならば，
q|xyz
でなければ,
xp + yp = zp,
となるような正の整数解 x, y, z は存在しない.
[証明]
定理８－１から，
xp + yp = zp, p は適当な 3 以上の素数．
が正の整数解 x, y, z を持てば，
( x2p + y2p + z2p )2 = 2( x4p + y4p + z4p ) (1)
さて, ここで定理の主張に反して，
q ¬|xyz
と仮定すれば，
q が素数であることにより，フェルマーの小定理から，
xq-1 ≡ yq-1 ≡ zq-1 ≡ 1 ( mod q ), q - 1 = 2p
∴ x2p ≡ y2p ≡ z2p ≡ 1 ( mod q )
∴ x4p ≡ y4p ≡ z4p ≡ 1 ( mod q )
これらを (1) に代入すると,
32 ≡ 2 × 3 ( mod q )
∴ 3 ≡ 0 ( mod q )
∴ q = 3
このような q は
q = 2p + 1, p ≧ 3
であることに反し矛盾.
この矛盾は，
q ¬|xyz
と仮定したことによる.
∴ q|xyz
故に定理は真である．
（証明終わり）
同様に定理８－１から定理８－２の拡張にあたる次の定理８－３も証明できる.
[定理８－３]
p が適当な 3 以上の素数, q = 4p + 1 が素数であるならば，
q|xyz
でなければ，
xp + yp = zp
となるような正の整数解 x, y, z は存在しない.
[証明]
定理８－１から，
xp + yp = zp, p は適当な 3 以上の素数．
が正の整数解 x, y, z を持てば，
( x2p + y2p + z2p )2 = 2( x4p + y4p + z4p ) (1)
さて, ここで定理の主張に反して，
q ¬|xyz
と仮定すれば，
q が素数であることにより，フェルマーの小定理から，
xq-1 ≡ yq-1 ≡ zq-1 ≡ 1 ( mod q ), q - 1 = 4p
∴ x2p ≡ y2p ≡ z2p ≡ ±1 ( mod q )
x4p ≡ y4p ≡ z4p ≡ 1 ( mod q )
これらを (1) に代入して,
(±1±1±1)2 ≡ 2(1+1+1) ( mod q )
∴ 9 ≡ 6 または 1 ≡ 6 ( mod q )
∴ 3 ≡ 0 または 5 ≡ 0 ( mod q )
∴ q = 3 または q = 5
このような素数 q は
q = 4p + 1, p ≧ 3
であることに反し矛盾．
この矛盾は,
q ¬|xyz
と仮定したことによる．
∴ q|xyz
故に定理は真である．
（証明終わり）
それでは定理８－２を使ってソフィー･ジェルマンの定理を証明しよう．
[定理８－４] ソフィ･ジェルマンの定理．
x, y, z を互いに素である任意の整数たち，p を適当な 3 以上の素数とする．
xp + yp = zp
なる等式で
（１）第一の場合．
xyz ¬≡ 0 ( mod p )
を仮定する．
この仮定の下で, 更に, q = 2p + 1 が素数ならば, 整数解 x, y, z は存在しない．
[証明]
xp + yp = zp
なる等式で
（１）第一の場合．
xyz ¬≡ 0 ( mod p )
に整数解 x, y, z が存在すると仮定すると矛盾することが云えれば良い．
この仮定の下においては,
次のような整数 x0, x1, y0, y1, z0, z1 が存在しなければならない．
x0p = z - y,
y0p = z - x,
z0p = x + y,
x1p = ( zp - yp )/( z - y ),
y1p = ( zp - xp )/( z - x ),
z1p = ( xp + yp )/( x + y ),
x = x0x1,
y = y0y1,
z = z0z1,
更に次のアーベルの公式が有名である．
2x = x0p - y0p + z0p
2y = - x0p + y0p + z0p
2z = x0p + y0p + z0p
（ 私はこれらに更に
2( x + y - z ) = - x0p - y0p + z0p
を追加したい．x + y - z は先に述べた均衡定理で一役買っていた．）
定理８－２から, q = 2p + 1 が素数ならば,
q|xyz
そこで,
q|x
と仮定する．（ q|z でも証明の原則は同じである． ）
すなわち,
2x = x0p - y0p + z0p ≡ 0 ( mod q )
ここで,
x0y0z0 ¬≡ 0 ( mod q )
ならば,
p = ( q - 1 )/ 2
であることと, フェルマーの小定理から,
x0p - y0p + z0p ≡ ±1±1±1 ¬≡ 0 ( mod q )
となり
x ≡ 0 ( mod q )
であることに反し矛盾．
（ あるいはここで定理８－１を応用しても同様の矛盾が導ける．敢えてそうする必要はないけれども．）
∴ x0p = z - y ≡ 0 ( mod q )
x1p = zp-1 + zp-2y + … + zyp-2 + yp-1
≡ pyp-1 ( mod q )
z1p = xp-1 - xp-2y + … - xyp-2 + yp-1 ≡ yp-1 ( mod q )
∴ x1p ≡ pz1p ( mod q )
そこで,
t ≡ x1z1-1 ( mod q )
であるような剰余 t を採用すれば,
p ≡ tp = t(q-1)/2 ≡ ±1 ( mod q )
∴ 2p ≡ ±2 ( mod q )
しかし, このことは,
2p ≡ -1 ( mod q )
であることに反し矛盾．
この矛盾は, 整数解 x, y, z が存在すると仮定したことによる．
故に定理は真である．
（証明終わり）
定理８－１, ８－３から次のソフィー･ジェルマンの定理の拡張にあたる定理が証明できる．
[定理８－５]
x, y, z を互いに素である任意の整数たち，p を適当な 3 以上の素数とする．
xp + yp = zp
なる等式で
（１）第一の場合．
xyz ¬≡ 0 ( mod p )
を仮定する．
この仮定の下で, 更に, q = 4p + 1 が素数ならば, 整数解 x, y, z は存在しない．
[証明]
証明の前半を定理８－４と同様とする．
定理８－３から, q = 4p + 1 が素数ならば,
q|xyz
そこで,
q|x
と仮定する．（ q|z でも証明の原則は同じである． ）
すなわち,
2x = x0p - y0p + z0p ≡ 0 ( mod q )
x0p + z0p ≡ y0p ( mod q )
と変形後, 定理８－１を q を法とする合同式に応用して
( x02p + y02p + z02p )2 ≡ 2( x04p + y04p + z04p ) ( mod q )
ここで,
x0y0z0 ¬≡ 0 ( mod q )
ならば,
2p = ( q - 1 )/2
であることと, フェルマーの小定理から,
(±1±1±1)2 ≡ 2(1+1+1) ( mod q )
9 ≡ 6 または 1 ≡ 6 ( mod q )
となり
q = 4p + 1, p ≧ 3
であることに反し矛盾．
∴ x0p = z - y ≡ 0 ( mod q )
x1p = zp-1 + zp-2y + … + zyp-2 + yp-1
≡ pyp-1 ( mod q )
z1p = xp-1 - xp-2y + … - xyp-2 + yp-1 ≡ yp-1 ( mod q )
∴ x1p ≡ pz1p ( mod q )
そこで,
t ≡ x1z1-1 ( mod q )
であるような剰余 t を採用すれば,
p ≡ tp ( mod q )
∴ p4 ≡ t4p = tq-1 ≡ 1 ( mod q )
4p ≡ -1 ⇒ 256p4 ≡ 1 ( mod q )
∴ 256 - 1 = 255 = 3×5×17 ≡ 0 ( mod q )
q = 4p + 1 かつ p ≧ 3 ⇒ q ≧ 13
∴ q = 17, p = 4
しかし, このことは p が素数であることに反し矛盾．
この矛盾は, 整数解 x, y, z が存在すると仮定したことによる．
故に定理は真である．
（証明終わり）
歴史的にはこの定理を含め q = 8p+1,10p+1,14p+1,16p+1 の証明はルジャンドルが成し遂げている．
§2.8 定理行列，定理ベクトル．
（ 特にこの部分で述べる事柄もまた、先の均衡定理や三項式の固有値等と同様、人様からの借り物ではなく私の個人的
な発見であると自負するものである．とは云うものの数学的な意味には著作権が及ばないことは法の示す通りである．
従って私は, 自己の発見の範囲の内容に関する限り盗用を禁じない．大いに善用し役立てて頂きたい．
私はまた, 情報社会は人間の善意や良心によって築かれるべきものであるとも考えている．）
前節までで述べた事柄のうち本節で必要な事柄を予め整理しておく．
∀ x,y,z ∈ {N}((x,y) = 1, y ≡ 0 ( mod 4 ), x2 + y2 = z2 )
であるような定理三つ組 (x,y,z) があるとする．
然らば，適当な整数 f,g が存在して，
x = 2fg + f2, y = 2fg + 2g2, z = 2fg + f2 + 2g2
更に，適当な整数 a,b,c,d が存在して，
a = z - y = f2, b = z - x = 2g2, c = x + y - z = 2fg, d = 2z - y - x = f2 + 2g2,
a2 + b2 + c2 = d2
となる．
さてここで次のような三次の正方行列 ⊿ を定義し, これを定理行列と呼ぼう．
| ⊿ |
= |
z-y
z-x
x+y-z |
z-x
z-y
x+y-z |
x+y-z
x+y-z
2z-y-x |
= |
a
b
c |
b
a
c |
c
c
d |
= |
f2
2g2
2fg |
2g2
f2
2fg |
2fg
2fg
f2+2g2 |
更に，
| ⊿c |
= |
z-y
z-x
-(x+y-z) |
z-x
z-y
-(x+y-z) |
-(x+y-z)
-(x+y-z)
2z-y-x |
= |
a
b
-c |
b
a
-c |
-c
-c
d |
= |
f2
2g2
-2fg |
2g2
f2
-2fg |
-2fg
-2fg
f2+2g2 |
を ⊿ の共役定理行列と呼ぶ．
また，
を単位定理行列と呼ぶ．
E は三次の正方行列の単位行列でもある．
更に，
∀ x, y, z ∈ {N}( x2 + y2 = z2 )
であるとき，次のような列ベクトル δ を定義し，これを定理ベクトルと呼ぶ．
また,
を単位定理ベクトルと呼ぶ．
これらが持つ性質の要点はおよそ次のようである．
（１）定理行列 ⊿ の固有方程式は，固有変数を λ として，
λ3 - ( 3f2 + 2g2 )λ2 + ( 3f2 + 2g2 )( f2 - 2g2 )λ - ( f2 - 2g2 )3 = 0
これを解いた固有値を λ1,λ2,λ3 とすれば，
λ1 = f2 - 2g2, λ2 = ( f + g√2 )2, λ3 = ( f - g√2 )2, λ1 = √(λ2λ3)
の関係がある．
また, ⊿ の対角化行列 T, T-1 は，
| T |
= |
T-1 |
= |
1/2
1/2
√2/2 |
1/2
1/2
-√2/2 |
√2/2
-√2/2
0 |
となる．
（⊿ は既に対称行列で，しかも乗法に関して形式保存（形式不易）なので，対角化してから ⊿ の n 乗巾を計算する
のは返って煩雑で，むしろ，
fn + gn√2 = ( f + g√2 )n,
fn = (( f + g√2 )n + ( f - g√2 )n)/2,
gn = (( f + g√2 )n - ( f - g√2 )n)/(2√2)
から行列に直接代入して処理する方が能率的であると思える．
しかしながら，正方行列の対角化も初等的には重要で良い練習問題ではある．）
（２）定理行列 × 定理ベクトル ＝ 定理ベクトル
となる．特に，
定理行列 × 単位定理ベクトル
から得られる定理ベクトルを自己定理ベクトル，この定理ベクトルから見た定理行列を自己定理行列と呼ぶ．
[定理９－１]
∀ f, g ∈ {N}, ∀ x1, y1, z1 ∈ {N}( x12 + y12 = z12 )
⇒
∃ x2, y2, z2 ∈ {N},
f2
2g2
2fg |
2g2
f2
2fg |
2fg
2fg
f2+2g2 |
× |
x1
y1
z1 |
= |
x2
y2
z2 |
, |
x22 + y22 = z22
[証明]
| x2 = |
f2 | 2g2 | 2fg |
× |
x1
y1
z1 |
= f2･x1 + 2g2･y1 + 2fg･z1 |
| y2 = |
2g2 | f2 | 2fg |
× |
x1
y1
z1 |
= 2g2･x1 + f2･y1 + 2fg･z1 |
| z2 = |
2fg | 2fg | f2+2g2 |
× |
x1
y1
z1 |
= 2fg･x1 + 2fg･y1 + (f2+2g2)･z1 |
x22 + y22
= ( f2x1 + 2g2y1 + 2fgz1 )2 + ( 2g2x1 + f2y1 + 2fgz1 )2
= f4x12 + 4g4y12 + 4f2g2z12 + 4f2g2x1y1 + 8fg3y1z1 + 4f3gz1x1
+ 4g4x12 + f4y12 + 4f2g2z12 + 4f2g2x1y1 + 4f3gy1z1 + 8fg3z1x1
= ( f4 + 4g4 )x12 + ( f4 + 4g4 )y12 + 8f2g2z12
+ 8f2g2x1y1 + 4fg( f2 + 2g2 )y1z1 + 4fg( f2 + 2g2 )z1x1
= ( f4 + 4g4 + 8f2g2 )z12 + 8f2g2x1y1 + 4fg( f2 + 2g2 )y1z1 + 4fg( f2 + 2g2 )z1x1
z22 = ( 2fgx1 + 2fgy1 + ( f2 + 2g2 )z1 )2
= 4f2g2x12 + 4f2g2y12 + ( f4 + 4g4 + 4f2g2 )z12
+ 8f2g2x1y1 + 4fg( f2 + 2g2 )y1z1 + 4fg( f2 + 2g2 )z1x1
∴ x22 + y22 = z22
（証明終わり）
（３）定理行列 × 定理行列 = 定理行列
となる．
[定理９－２]
f1, g1, f2, g2, f3, g3 ∈ {N}．
( f1 + g1√2 )( f2 + g2√2 ) = f3 + g3√2
⇔
f12
2g12
2f1g1 |
2g12
f12
2f1g1 |
2f1g1
2f1g1
f12+2g12 |
× |
f22
2g22
2f2g2 |
2g22
f22
2f2g2 |
2f2g2
2f2g2
f22+2g22 |
= |
f32
2g32
2f3g3 |
2g32
f32
2f3g3 |
2f3g3
2f3g3
f32+2g32 |
[証明]
( f1 + g1√2 )( f2 + g2√2 ) = f1f2 + 2g1g2 + f1g2√2 + f2g1√2
∴ f3 = f1f2 + 2g1g2, g3 = f1g2 + f2g1
さらに与式の右辺の行列を
d11
d21
d31 |
d12
d22
d32 |
d13
d23
d33 |
と置いて
f32
2g32
2f3g3 |
2g32
f32
2f3g3 |
2f3g3
2f3g3
f32+2g32 |
となることが云えれば良い．
d11 = d22 = f12f22 + 4g12g22 + 4f1f2g1g2
= ( f1f2 + 2g1g2 )2 = f32
d12 = d21 = 2f12g22 + 2f22g12 + 4f1f2g1g2
= 2( f1g2 + f2g1 )2 = 2g32
d13 = d23 = 2f12f2g2 + 4f2g12g2 + 2f1g1( f22 + 2g22 )
= 2( f1f2 + 2g1g2 )( f1g2 + f2g1 ) = 2f3g3
d31 = d32 = 2f22f1g1 + 4f1g22g1 + 2f2g2( f12 + 2g12 )
= 2( f1f2 + 2g1g2 )( f1g2 + f2g1 ) = 2f3g3
d33 = 4f1f2g1g2 + 4f1f2g1g2 + ( f12 + 2g12 )( f22 + 2g22 )
= ( f1f2 + 2g1g2 )2 + 2( f1g2 + f2g1 )2 = f32 + 2g32
（証明終わり）
従って,
∀ f, g ∈ {N}, ( f, g ) = 1 ∨ ( f, g ) ≠ 1
という条件で作った定理行列たちの集合を {定理行列} とすれば {定理行列} は単位的乗法半群となる．
ここで
( f, g ) = 1
という条件を省いた理由は,
fa + ga√2 = ( fd + gd√2 )( fa' + ga'√2 )
fb + gb√2 = ( fd - gd√2 )( fb' + gb'√2 )
fc + gc√2 = ( fa + ga√2 )( fb + gb√2 )
であった場合に,
( fa, ga ) = ( fb, gb ) = 1
であっても,
( fc, gc ) = fd2 - 2gd2 ≠ 1
と成り得ることがある為である．
しかしながら,
fb2 - 2gb2 = ±1
であるときは,
( fa, ga ) = 1 ⇒ ( fc, gc ) = 1
となる．
（４）定理行列 × 共役定理行列 ＝ 対角行列
となる．すなわち，
f2 - 2g2 = P
とすれば，
| ⊿ |
× |
⊿c |
= |
a
b
c |
b
a
c |
c
c
d |
× |
a
b
-c |
b
a
-c |
-c
-c
d |
| = |
f2
2g2
2fg |
2g2
f2
2fg |
2fg
2fg
f2+2g2 |
× |
f2
2g2
-2fg |
2g2
f2
-2fg |
-2fg
-2fg
f2+2g2 |
= |
(f2-2g2)2
0
0 |
0
(f2-2g2)2
0 |
0
0
(f2-2g2)2 |
= |
P2
0
0 |
0
P2
0 |
0
0
P2 |
あるいは
| ⊿ |
× |
⊿c |
= |
z-y
z-x
x+y-z |
z-x
z-y
x+y-z |
x+y-z
x+y-z
2z-y-x |
× |
z-y
z-x
-(x+y-z) |
z-x
z-y
-(x+y-z) |
-(x+y-z)
-(x+y-z)
2z-y-x |
= |
(x-y)2
0
0 |
0
(x-y)2
0 |
0
0
(x-y)2 |
となる．
( (z-y)2 + (z-x)2 - (x+y-z)2 = (2z-y-x)2 - 2(x+y-z)2 = z2 - 2xy = (x-y)2 )
⊿ と ⊿c の関係は {N(√2)} の ( f + g√2 ) と ( f - g√2 ) の関係と似ている．
§2.9 双曲座標の二次式から定理三つ組みを生成する方法．
前節までの議論を前提として本節を述べる．
ただ本節の終わりまで一時的に，
x ≡ 0 ( mod 4 ) または y ≡ 0 (mod 4)
と変更する．
そこで，新たに +fw, +gw を
+fw + +gw√2 = ( f + g√2 )2( 1 + √2 )
と置いてみる．と
+fw + +gw√2 = ( f2 + 2g2 + 2fg√2 )( 1 + √2 )
= ( f2 + 2g2 + 4fg ) + ( f2 + 2g2 + 2fg )√2
∴ +fw = f2 + 2g2 + 4fg, +gw = f2 + 2g2 + 2fg
となる．
ここで，さらに，
f2 - 2g2 = P
であったとして，( -P でも原則は同じである. )
新たに +x, +y, +z を定義して，
+x = f2 + 2fg = ( +fw + P )/2,
+y = 2g2 + 2fg = ( +fw - P )/2,
+z = 2fg + f2 + 2g2 = +gw
とすれば定理三つ組みが得られる．
これを双曲座標の二次式から定理三つ組みを加法生成すると云おう．
そこで ( F, G ) を最小整数解となるような特別な双曲座標として，
fn + gn√2 = ( F + G√2 )( 1 + √2 )n
+fw(n) + +gw(n)√2 = ( fn + gn√2 )2( 1 + √2 )
= ( F + G√2 )2( 1 + √2 )( 3 + 2√2 )n
⇔
+xn = fn2 + 2fngn = ( +fw(n) + P )/2,
+yn = 2gn2 + 2fngn = ( +fw(n) - P )/2,
+zn = 2fngn + fn2 + 2gn2 = +gw(n)
となるような指標系を作ることができる．これを二次式加法生成系と呼んでおこう．
同様に，
新たに -fw, -gw を
-fw + -gw√2 = ( f + g√2 )2( -1 + √2 )
と置いてみる．と
-fw + -gw√2 = ( f2 + 2g2 + 2fg√2 )( -1 + √2 )
= ( -f2 - 2g2 + 4fg ) + ( f2 + 2g2 - 2fg )√2
∴ -fw = -f2 - 2g2 + 4fg, -gw = f2 + 2g2 - 2fg
ここで，さらに，
f2 - 2g2 = P
であったとして，( -P でも原則は同じである. )
新たに -x, -y, -z を定義して，
-x = f2 - 2fg = ( --fw - P )/2,
-y = 2g2 - 2fg = ( --fw + P )/2,
-z = -2fg + f2 + 2g2 = -gw
とすれば定理三つ組みが得られる．
これを双曲座標の二次式から定理三つ組みを減法生成すると云おう．
これらを対応させると，
-fw(n) + -gw(n)√2 = ( fn + gn√2 )2( -1 + √2 )
= ( F + G√2 )2( -1 + √2 )( 3 + 2√2 )n
⇔
-xn = fn2 - 2fngn = ( -fw(n) + P )/2,
-yn = 2gn2 - 2fngn = ( -fw(n) - P )/2,
-zn = -2fngn + fn2 + 2gn2 = -gw(n)
であるような指標系を作ることができる．これを二次式減法生成系と呼んでおこう．
ここで，
( fn + gn√2 )2( 1 + √2 ) = ( fn + gn√2 )2( -1 + √2 )( 3 + 2√2 )
= (( fn + gn√2 )( 1 + √2 ))2( -1 + √2 )
= ( fn+1 + gn+1√2 )( -1 + √2 )
であることに注意すれば，
+fw(n+1) + +gw(n+1)√2 = -fw(n+1) + -gw(n+1)√2
となり，ゆえに，
+xn = -xn+1,
+yn = -yn+1,
+zn = -zn+1
となるので，どちらの指標系を採用しても意味は同じであることが分かる．
それで，以降では差し支えのない限りにおいて
( -fw(n), -gw(n) )，( +xn, +yn, +zn )
( n = 0, 1, 2, 3, … )
を採用することにし，しかもこれを，
( fw(n), gw(n) ), ( xn, yn, zn )
で表すことにする．
まとめると，
fn + gn√2 = ( F + G√2 )( 1 + √2 )n
fw(n) + gw(n)√2 = ( fn + gn√2 )2( -1 + √2 )
= ( F + G√2 )2( -1 + √2 )( 3 + 2√2 )n,
xn = fn2 + 2fngn = ( fw(n) + P )/2,
yn = 2gn2 + 2fngn = ( fw(n) - P )/2,
zn = 2fngn + fn2 + 2gn2 = gw(n)
( n = 0, 1, 2, 3, … )
となる．
なお，本節に入る前の前提であった，
y ≡ 0 ( mod 4 )
を復活させるには，
P を 1 や素数や合成数の場合も含むとして，
P ≡ 1 ( mod 2 ),
fw(n) ≡ gw(n) ≡ 1 ( mod 2 ),
∵ ( fw(0) + gw(0) = ( F + G√2 )2( -1 + √2 ) = ( F2 + 2G2 + 2FG√2 )( -1 + √2 ) = …,
∴ fw(0) = -F2 - 2G2 + 4FG, gw(0) = F2 + 2G2 - 2FG,
∴ F ≡ 1 ( mod 2 ) ⇒ fw(0) ≡ gw(0) ≡ 1 ( mod 2 )
fw(n+1) + gw(n+1)√2 = ( fw(n) + gw(n)√2 )( 3 + 2√2 )
∴ fw(n+1) = 3fw(n) + 4gw(n), gw(n+1) = 2fw(n) + 3gw(n)
( fw(n+1) + fw(n) )/2 = gw(n+1) - gw(n) = 2( fw(n) + gw(n) ) ≡ 0 ( mod 2 )
∴ fw(n) ≡ gw(n) ≡ 1 ( mod 2 )
)
であることから，
仮に，xn, yn たちを改めて，
xn = ( fw(n) + (-1)nP )/2, yn = ( fw(n) - (-1)nP )/2
であると置けば，
x0 ≡ xn ≡ 0 ( mod 4 ) または y0 ≡ yn ≡ 0 ( mod 4 )
となる.
そこで，
( fw(0) + P )/2 ≡ 0 ( mod 2 ) ⇒ xn = ( fw(n) - (-1)nP )/2, yn = ( fw(n) + (-1)nP )/2
( fw(0) + P )/2 ≡ 1 ( mod 2 ) ⇒ xn = ( fw(n) + (-1)nP )/2, yn = ( fw(n) - (-1)nP )/2
と置くことにすれば，
yn ≡ 0 ( mod 4 )
となる．
ところが，
( fw(0) + P )/2 = ( -F2 - 2G2 + 4FG + P )/2 ≡ ( P - ( F2 - 2G2 ) )/2 ( mod 2 )
∴ F2 - 2G2 = P ⇒ ( fw(0) + P )/2 ≡ 0 ( mod 2 )
F2 - 2G2 = -P ⇒ ( fw(0) + P )/2 ≡ 1 ( mod 2 )
でもあるので，
F2 - 2G2 = P ⇒ xn = ( fw(n) - (-1)nP )/2, yn = ( fw(n) + (-1)nP )/2
F2 - 2G2 = -P ⇒ xn = ( fw(n) + (-1)nP )/2, yn = ( fw(n) - (-1)nP )/2
と置くことにすれば，
yn ≡ 0 ( mod 4 )
が再び復活する．
そこで, これらと別記「 判別式が２の二次拡大整数環の基本性質 ｣ で述べたような事柄を根拠として，
以下の数節で定理三つ組みを二次式生成する場合の概略を検討しよう．
§2.9.1 P = 1 の場合の二次式生成系．
P = 1 のとき, ( F, G ) = ( 1, 1 ) となるので，
( F + G√2 )2( -1 + √2 ) = ( 1 + √2 )2( -1 + √2 ) = 1 + √2
ゆえにこの場合の二次式生成系は，
fw(n) + gw(n)√2 = ( 1 + √2 )( 3 + 2√2 )n ( n = 0, 1, 2, 3, … ),
xn = ( fw(n) + (-1)nP )/2, yn = ( fw(n) - (-1)nP )/2, zn = gw(n)
となる．ところが，
f2n + g2n√2 = ( 1 + √2 )2n = ( 3 + 2√2 )n ( n = 0, 1, 2, 3, … )
であったことから，この場合には，
fw(n) + gw(n)√2 = f2n+1 + g2n+1√2 = ( 1 + √2 )2n+1 ( n = 0, 1, 2, 3, … )
ともなっている．
また，このとき特に，
( fw(0), gw(0) ) = ( 1, 1 ), ( x0, y0, z0 ) = ( 1, 0, 1 )
となる．
§2.9.2 P が素数の場合の二次式生成系．
(1) P が 8k±1 型の素数, P ＞ 0, F ＞ 2G ＞ 0 であるとき，
このとき ( F, G ) を ( Fu, Gu ) と書けば，
Fu2 - 2Gu2 = P ＞ 0,
( F + G√2 )2( -1 + √2 ) = ( Fu + Gu√2 )2( -1 + √2 )
= ( Fu2 + 2Gu2 + 2FuGu√2 )( -1 + √2 )
= ( -Fu2 - 2Gu2 + 4FuGu ) + ( Fu2 + 2Gu2 - 2FuGu )√2
= ( P - 2( Fu2 - 2FuGu )) + (( Fu - Gu)2 + Gu2 )√2
= ( -P - 2( 2Gu2 - 2FuGu )) + (( Fu - Gu)2 + Gu2 )√2
あるいは，
( F + G√2 )2( -1 + √2 ) = ( Fu + Gu√2 )2( -1 + √2 )
= ( Fu + Gu√2 )( -Fv + Gv√2 )
= ( -FuFv + 2GuGv ) + ( FuGv - GuFv )√2
ここに,
Fv = 2Fu - Gu ＞ 0, Gv = Fu - Gu ＞ 0,
Gv ＞ Fv ＞ 0，
Fv2 - 2Gv2 = -P ＜ 0
そこで，新たに Fo, Go を取って，
Fo = -FuFv + 2GuGv,
Go = FuGv - GuFv,
とすれば，
この場合の二次式生成系は，
fwu(n) + gwu(n)√2 = ( Fo + Go√2 )( 3 + 2√2 )n ( n = 0, 1, 2, 3, … )
xu(n) = ( fwu(n) - (-1)nP )/2, yu(n) = ( fwu(n) + (-1)nP )/2, zu(n) = gwu(n)
と書いておくことができる．
また，このとき特に，
( fwu(0), gwu(0) ) = ( Fo, Go ),
( xu(0), yu(0), zu(0) ) = ( ( Fo - P )/2, ( Fo + P )/2, Go )
= ( -Fu2 + 2FuGu, -2Gu2 + 2FuGu, Fu2 + 2Gu2 - 2FuGu )
となる．
ところが，
xu(0) = -2Gu2 + 2FuGu = 2Gu( Fu - Gu ) ＞ 0,
yu(0) = -Fu2 + 2FuGu = -Fu( Fu - 2Gu ) ＜ 0,
∴ |xu(0)| + |yu(0)| = P
となり，和が P である定理三つ組みが指数 n = 0 のときに埋め込まれている．
(2) P が 8k±1 型の素数, p ＞ 0, G ＞ F ＞ 0 であるとき，
このとき ( F, G ) を ( Fv, Gv ) と書けば，
Fv2 - 2Gv2 = - P ＜ 0,
( F + G√2 )2( -1 + √2 ) = ( Fv + Gv√2 )2( -1 + √2 )
= ( Fv2 + 2Gv2 + 2FvGv√2 )( -1 + √2 )
= ( -Fv2 - 2Gv2 + 4FvGv ) + ( Fv2 + 2Gv2 - 2FvGv )√2
= ( -P - 2( Fv2 - 2FvGv )) + (( Fv - Gv)2 + Gv2 )√2
= ( P - 2( 2Gv2 - 2FvGv )) + (( Fu - Gu)2 + Gv2 )√2
あるいは，
( F + G√2 )2( -1 + √2 ) = ( Fv + Gv√2 )2( -1 + √2 )
= ( Fv + Gv√2 )( Fu - Gu√2 )
= ( FvFu - 2GuGv ) + ( FuGv - GuFv )√2
ここに,
Fu = -Fv + 2Gv ＞ 0, Gu = -Fv + Gv ＞ 0,
Fu ＞ 2Gu ＞ 0，
Fu2 - 2Gu2 = P ＞ 0
そこで (2-1) で既に定義した Fo, Go を使えば，
FvFu - 2GuGv = -Fo,
FuGv - GuFv = Go
となるので，
この場合の二次式生成系は，
fwv(n) + gwv(n)√2 = ( -Fo + Go√2 )( 3 + 2√2 )n ( n = 0, 1, 2, 3, … )
xv(n) = ( fwv(n) + (-1)nP )/2, yv(n) = ( fwv(n) - (-1)nP )/2, zv(n) = gwv(n)
と書くことができる．
また，このとき特に，
( fwv(0), gwv(0) ) = ( -Fo, Go ),
( xv(0), yv(0), zv(0) ) = ( ( -Fo + P )/2, ( -Fo - P )/2, Go )
= ( -Fv2 + 2FvGv, -2Gv2 + 2FvGv, Fv2 + 2Gv2 - 2FvGv )
となる．
ところが，
xv(0) = -Fv2 + 2FvGv = Fv( 2Gv - Fv ) ＞ 0,
yv(0) = -2Gv2 + 2FvGv = -2Gv( Gv - Fv ) ＜ 0,
∴ |xv(0)| + |yv(0)| = P
となり，和が P である定理三つ組みが指数 n = 0 のときに埋め込まれている．
さらに，
xu(0) = -yv(0) ＞ 0, -yu(0) = xv(0) ＞ 0, zu(0) = zv(0) ＞ 0
となっている．
より一般には -n で負の整数の指数を示し，かつ n ≧ 1 として，
xu(n) = -yv(-n) ＞ 0, yu(n) = -xv(-n) ＞ 0, zu(n) = zv(-n) ＞ 0
-xu(-n) = yv(n) ＞ 0, -yu(-n) = xv(n) ＞ 0, zu(-n) = zv(n) ＞ 0
の関係がある．
結局のところ P が一つの素数 p ( 8k±1 型の素数 ) であるときは，
| x - y | = p
となる全ての定理三つ組み ( x, y, z ) は無限に多くあるが，それらを有限個の式で列挙することが可能となる．
Fo = -FuFv + 2GuGv,
Go = FuGv - GuFv
として，
一番目の方法は，
(a-1) fwu(n) + gwu(n)√2 = ( Fo + Go√2 )( 3 + 2√2 )n ( n = 0, 1, 2, 3, … )
xu(n) = ( fwu(n) - (-1)nP )/2, yu(n) = ( fwu(n) + (-1)nP )/2, zu(n) = gwu(n)
(a-2) fwv(m) + gwv(m)√2 = ( -Fo + Go√2 )( 3 + 2√2 )m ( m = 0, 1, 2, 3, … )
xv(m) = ( fwv(m) + (-1)nP )/2, yv(m) = ( fwv(m) - (-1)nP )/2, zv(m) = gwv(m)
と二本立てにする方法であって，これを短系列表示と呼んでおく．
二番目の方法は, n を負の整数にまで広げて，
(b-1) fwu(n) + gwu(n)√2 = ( Fo + Go√2 )( 3 + 2√2 )n ( n = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … )
xn = ( fwu(n) - (-1)nP )/2, yn = ( fwu(n) + (-1)nP )/2, zn = gwu(n)
または，
(b-2) fwv(n) + gwv(n)√2 = ( -Fo + Go√2 )( 3 + 2√2 )n ( n = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … )
xn = ( fwv(n) + (-1)nP )/2, yn = ( fwv(n) - (-1)nP )/2, zn = gwv(n)
のどちらか一方を採用する方法である．これを長系列表示と呼んでおく．
§2.9.3 P が合成数である場合の二次式生成系．
ここで重要なことは ｢ 判別式が２の二次拡大整数環の基本性質 ｣ でも述べたように，
P を割り切る異なる 8k±1 型の有理素数の個数が m 個であれば, 異なる共役分解の類たちは 2m-1 組ある．
ということである．
詳しく述べれば，いま仮に，
p1, p2, …, pm を任意の異なる m 個の 8k±1 型の素数たち，
a1, a2, …, am を任意の正の整数の指数たち,
P = p1a1p2a2…pmam,
f, g を適当な正の整数たち，
f2 - 2g2 = ±P
とすれば，
これらの前提に基づいた最小解たちは，
Fu(t) ＞ 2Gu(t) ＞ 0,
0 ＜ Fv(t) ＜ Gv(t)
( Fu(t) + Gu(t)√2 )( -1 + √2 ) = -Fv(t) + Gv(t)√2,
( Fv(t) + Gv(t)√2 )( -1 + √2 ) = Fu(t) - Gu(t)√2,
Fu(t)2 - 2Gu(t)2 = -( Fv(t)2 - 2Gv(t)2 ) = P = p1a1p2a2…pmam
( t = 1, 2, …,2m-1 )
の式で表せるということである．
これらに基づいて, 前節の P が素数であった場合と同様に，
Fo(t) = -Fu(t)Fv(t) + 2Gu(t)Gv(t),
Go(t) = Fu(t)Gv(t) - Gu(t)Fv(t)
とすれば，
短系列表示は，
(a-1) fwu(t)(n) + gwu(t)(n)√2 = ( Fo(t) + Go(t)√2 )( 3 + 2√2 )n ( n = 0, 1, 2, 3, … )
xu(t)n = ( fwu(t)(n) - (-1)nP )/2, yu(t)n = ( fwu(t)(n) + (-1)nP )/2, zu(t)n = gwu(t)(n)
および，
(a-2) fwv(t)(n') + gwv(t)(n')√2 = ( -Fo(t) + Go(t)√2 )( 3 + 2√2 )n' ( n' = 0, 1, 2, 3, … )
xv(t)n' = ( fwv(t)(n') + (-1)nP )/2, yv(t)n' = ( fwv(t)(n') - (-1)nP )/2, zv(t)n' = gwv(t)(n')
( t = 1, 2, …, 2m-1 )
となり，
長系列表示は，
(b-1) fwu(t)(n) + gwu(t)(n)√2 = ( Fo(t) + Go(t)√2 )( 3 + 2√2 )n ( n = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … )
x(t)n = ( fwu(t)(n) - (-1)nP )/2, y(t)n = ( fwu(t)(n) + (-1)nP )/2, z(t)n = gwu(t)(n)
( t = 1, 2, …, 2m-1 )
または，
(b-2) fwv(t)(n) + gwv(t)(n)√2 = ( -Fo(t) + Go(t)√2 )( 3 + 2√2 )n ( n = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … )
x(t)n = ( fwv(t)(n) + (-1)nP )/2, y(t)n = ( fwv(t)(n) - (-1)nP )/2, z(t)n = gwv(t)(n)
( t = 1, 2, …, 2m-1 )
となる．
§2.10 隔差２中，隔和６中．
この節はむしろ ｢ 判別式が２の二次拡大整数環の基本性質 ｣ で述べた事柄と一部重複している．しかしながら，
その意味合いにおいては, 本稿で考えているような「 定理三つ組み ｣ の差分の問題とも深く関わってもいる．
いま，
fn, gn, f, g を整数, n を指数として,
fn + gn√2 = ( f + g√2 )( 1 + √2 )n ( n = 0, 1, 2, … )
を考えよう．
( f, g ) が
f2 - 2g2 = P (1)
に属していると仮定した場合，
( fn, gn ), n ≡ 0 ( mod 2 )
なる座標たちも (1) に属している．
一方,
f'2 - 2g'2 = -P (2)
には
( fn, gn ), n ≡ 1 ( mod 2 )
なる座標たちが属している．
これらの座標たちは ( 1 + √2 ) を掛ける度に (1) と (2) の間を交互に渡って行くと考えて良い．
もう少し詳しく述べれば，
fn+1 + gn+1√2 = ( fn + gn√2 )( 1 + √2 ),
fn+2 + gn+2√2 = ( fn+1 + gn+1√2 )( 1 + √2 )
から，
fn+1 = fn + 2gn, gn+1 = fn + gn,
fn+2 = fn+1 + 2gn+1, gn+2 = fn+1 + gn+1
となり，これらを変形して，
fn+2 - fn = 2fn+1, gn+2 - gn = 2gn+1
が得られる．
これらをその意味から隔差２中と呼んでおく．
今度は
f2 - 2g2 = P (1)
か，または，
f'2 - 2g'2 = -P (2)
のどちらか一方にのみ属していて，しかも互いに順序的に連続している三つの双曲座標たちを考えよう．
これらは，
( 1 + √2 )2 = 3 + 2√2
を順に乗じることによって得られる．
先ほどからの順序付けに従えば番号も 2 づつ加算されていく．
例えば，
fn+2 + gn+2√2 = ( fn + gn√2 )( 3 + 2√2 ),
fn+4 + gn+4√2 = ( fn+2 + gn+2√2 )( 3 + 2√2 )
と置いて，
( fn, gn ), ( fn+2, gn+2 ), ( fn+4, gn+4 )
たちを考えよう．
これらの座標の間には，
fn+2 = 3fn + 4gn, gn+2 = 2fn + 3gn,
fn+4 = 3fn+2 + 4gn+2, gn+4 = 2fn+2 + 3gn+2,
fn + fn+4 = 6fn+2, gn + gn+4 = 6gn+2
の関係がある．
これらをその意味から，隔和６中と呼んでおく．
このとき，さらに，
( fn+2 + fn )/2 = gn+2 - gn = 2( fn + gn ),
( fn+4 + fn+2 )/2 = gn+4 - gn+2 = 2( fn+2 + gn+2 )
も重要な意味を持つ．
これらの準備的考察を基に，次節で再び定理三つ組みの二次式生成の問題に帰ってみよう．
§2.11 二次式生成による定理三つ組みの差分について．
本節は主に 2.9 節で述べたことを前提とする．
便宜上，以下の議論で必要なことを再掲しておく．
( fw(0), gw(0) ) を定理三つ組みを二次式生成するための適当に選ばれた双曲座標の初期値とする．
次のように, 一般の双曲座標 ( fw(n), gw(n) ) と定理三つ組み ( xn, yn, zn ) を定義する．
fw(n) + gw(n)√2 = ( fw(0) + gw(0)√2 )( 3 + 2√2 )n ( n = 0, 1, 2, … ),
xn = ( fw(n) + (-1)nP )/2, yn = ( fw(n) - (-1)nP )/2, zn = gw(n)
ただし，P は ( fw(0), gw(0) ) の定義に用いた適当な正の整数で 1 か 8k±1 型の素数の適当な積とする．
xn ≡ 0 ( mod 4 ) または yn ≡ 0 ( mod 4 )
とする．
これらを前提として以下の定理たちが成り立つ．
以前に述べたような事柄と類似しているので冗長の感がないでもないが，一応，きちんと証明しておく．
[定理１０－１]
zn + zn+2 = 6zn+1
が成り立つ.
すなわち zn の差分は隔和６中である．
[証明]
本節の冒頭で掲げられた前提から，
fw(n+1) + gw(n+1)√2 = ( fw(n) + gw(n)√2 )( 3 + 2√2 )
= ( 3fw(n) + 4gw(n) ) + ( 2fw(n) + 3gw(n) )√2
∴ fw(n+1) = 3fw(n) + 4gw(n)
(10-1-1)
gw(n+1) = 2fw(n) + 3gw(n)
(10-1-2)
同様に，
fw(n+2) = 3fw(n+1) + 4gw(n+1)
(10-1-3)
gw(n+2) = 2fw(n+1) + 3gw(n+1)
(10-1-4)
10-1-3, 10-1-1, 10-1-2 から，
gw(n+2) = 2fw(n+1) + 3gw(n+1)
= 2( 3fw(n) + 4gw(n) ) + 3( 2fw(n) + 3gw(n) )
= 12fw(n) + 17gw(n)
gw(n+2) + gw(n) = 12fw(n) + 18gw(n)
= 6( 2fw(n+1) + 3gw(n+1) ) = 6gw(n+1)
∴ gw(n+2) + gw(n) = 6gw(n+1)
(10-1-5)
ところが，前提から，
zn = gw(n),
(10-1-6)
zn+1 = gw(n+1),
(10-1-7)
zn+2 = gw(n+2)
(10-1-8)
∴ zn + zn+2 = 6zn+1
(証明終わり)
[定理１０－２]
xn+1 + xn = yn+1 + yn = zn+1 - zn
が成り立つ.
[証明]
冒頭の前提から，
xn = ( fw(n) + (-1)nP )/2,
(10-2-1)
yn = ( fw(n) - (-1)nP )/2,
(10-2-2)
zn = gw(n)
(10-2-3)
xn+1 = ( fw(n+1) + (-1)n+1P )/2,
(10-2-4)
yn+1 = ( fw(n+1) - (-1)n+1P )/2,
(10-2-5)
zn+1 = gw(n+1)
(10-2-6)
10-2-1, 10-2-4 から，
xn+1 + xn = ( fw(n+1) + fw(n) )/2
(10-2-7)
10-2-2, 10-2-5 から，
yn+1 + yn = ( fw(n+1) + fw(n) )/2
(10-2-8)
10-2-3, 10-2-6 から，
zn+1 - zn = gw(n+1) - gw(n)
(10-2-9)
定理１０－１の証明から，
fw(n+1) = 3fw(n) + 4gw(n)
(10-1-1)
gw(n+1) = 2fw(n) + 3gw(n)
(10-1-2)
10-1-1 から，
( fw(n+1) + fw(n) )/2 = 2fw(n) + 2gw(n)
(10-2-10)
10-1-2 から，
gw(n+1) - gw(n) = 2fw(n) + 2gw(n)
(10-2-11)
10-2-7, 10-2-8, 10-2-9, 10-2-10, 10-2-11 から，
xn+1 + xn = yn+1 + yn = zn+1 - zn
(証明終わり)
[定理１０－３]
xn + xn+3 = yn + yn+3 = 5( xn+1 + xn+2 ) = 5( yn+1 + yn+2 ) = 5( zn+2 - zn+1 )
が成り立つ.
[証明]
定理１０－２から，
xn+1 + xn = yn+1 + yn = zn+1 - zn
(10-3-1)
xn+2 + xn+1 = yn+2 + yn+1 = zn+2 - zn+1
(10-3-2)
xn+3 + xn+2 = yn+3 + yn+2 = zn+3 - zn+2
(10-3-3)
10-3-1, 10-3-3 を辺々加えれば，
xn + xn+1 + xn+2 + xn+3 = yn + yn+1 + yn+2 + yn+3 = zn+3 - zn+2 + zn+1 - zn
= ( zn+3 + zn+1 ) - ( zn+2 + zn )
(10-3-4)
ところが, 定理１０－１から，
zn+3 + zn+1 = 6zn+2,
(10-3-5)
zn+2 + zn = 6zn+1
(10-3-6)
10-3-4, 10-3-5, 10-3-6, 10-3-2 から，
xn + xn+1 + xn+2 + xn+3 = yn + yn+1 + yn+2 + yn+3
= 6( zn+2 - zn+1 )
= 6( xn+2 + xn+1 ) = 6( yn+2 + yn+1 )
∴ xn + xn+3 = yn + yn+3 = 5( xn+1 + xn+2 ) = 5( yn+1 + yn+2 ) = 5( zn+2 - zn+1 )
(証明終わり)
§§３．整数比の直角三角形を応用した円周率 π の近似計算．
